área 2x^2,2x+6,-1,0 — solución paso a paso

1) El área entre

2 x^{2}

2 x + 6

[-1; 0]

es la integral del valor absoluto de su diferencia

No hay intersecciones interiores: la diferencia mantiene su signo en el intervalo

[-1; 0]

2 x + 6

está por encima de

2 x^{2}

: integremos

- 2 x^{2} + 2 x + 6

⇥1.1) Calculemos la integral:

\int_{-1}^{0} (- 2 x^{2} + 2 x + 6) d x

⇥ⅰ

\int (- 2 x^{2} + 2 x + 6) d x

- \int 2 x^{2} d x + \int 2 x d x + \int 6 d x

⇥

- \int 2 x^{2} d x + \int 2 x d x + \int 6 d x

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la integral. Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

- \int 2 x^{2} d x

- 2 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\int 2 x d x

2 \cdot \frac{x^{2}}{2}

■La derivada de

6 x

6

, por lo que

6 x

es una primitiva de

6

\int 6 d x

6 x

⇥

- 2 \cdot \frac{x^{3}}{3} + 2 \cdot \frac{x^{2}}{2} + 6 x

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

2 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{2 x^{3}}{3}

2 \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{2 x^{2}}{2}

■Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{2 x^{2}}{2}

x^{2}

▷

- \frac{2 x^{3}}{3} + x^{2} + 6 x

⇥1.2) Evaluemos en el intervalo

[-1; 0]

(- \frac{2 \cdot 0^{3}}{3} + 0^{2} + 6 \cdot 0) - (- \frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3} + {(-1)}^{2} + 6 \cdot (-1))

⇥ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

2 \cdot 0

0

6 \cdot 0

0

■Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (- \frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3} + {(-1)}^{2} + 6 \cdot (-1))

\frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3} - {(-1)}^{2} - 6 \cdot (-1)

■Sumar 0 no cambia nada:

0 + \frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3}

\frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3}

⇥

0

+ 0

+ \frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3}

- {(-1)}^{2}

- 6 \cdot (-1)

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 0 + \frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3}

\frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3}

■Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■Multiplicar por -1 da el opuesto:

2 \cdot (-1)

-2

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

-6 \cdot (-1)

6

⇥

- \frac{2}{3} - 1 + 6

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

- \frac{2}{3} - 1

\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}

⇥

\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3} + 6

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

1 \cdot 3

3

⇥

\frac{- 2 - 3}{3} + 6

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 2 - 3

-5

⇥

- \frac{5}{3} + 6

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

- \frac{5}{3} + 6

\frac{- 5 + 6 \cdot 3}{3}

⇥

\frac{- 5 + 6 \cdot 3}{3}

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

6 \cdot 3

18

⇥

\frac{- 5 + 18}{3}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 5 + 18

13

⇥

\frac{13}{3}

El área en

[-1; 0]

vale

\frac{13}{3}

▶Área:

\frac{13}{3}

2) El valor numérico de:

\frac{13}{3}

vale:

▷

\approx 4,3333