área 6ln(x),xln(x) — solución paso a paso

⚠ (6ln(x),xln(x)) se interpreta como (6*ln(x),x*ln(x)): utiliza * para una multiplicación, utiliza ^ para una potencia

1) Consideremos las dos curvas de ecuaciones

y = 6 \cdot \ln (x)

y = x \cdot \ln (x)

En las intersecciones,

6 \cdot \ln (x)

x \cdot \ln (x)

. Restemos la segunda expresión a la primera:

6 \cdot \ln (x) - x \cdot \ln (x) = 0

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

6 \cdot \ln (x) - x \cdot \ln (x) = 0

⇥Podemos factorizar la expresión

6 \cdot \ln (x) - x \cdot \ln (x)

como

\ln (x) \cdot (6 - x)

⇥Un producto es nulo si y solo si al menos uno de sus factores es nulo: igualamos cada factor a 0 y resolvemos

⇥⇥1.1.1) Resolvamos en

ℝ

\ln (x) = 0

⇥⇥Podemos aplicar la función exp a ambos miembros:

⇥⇥

e^{\ln (x)} = e^{0}

⇥⇥ⓘ Para

x

real,

\ln (\exp (x)) = x

; cuando

\ln (x)

está definido,

\exp (\ln (x)) = x

e^{\ln (x)}

x

■Todo número no nulo elevado a 0 vale 1:

e^{0}

1

⇥⇥Candidatos, sujetos al dominio:

x = 1

⇥⇥1.1.2) Resolvamos en

ℝ

6 - x = 0

⇥⇥Candidatos, sujetos al dominio:

x = 6

⇥ Para que la expresión

\ln (x)

esté definida, debe cumplirse:

x > 0

⇥Restricciones del dominio:

x > 0

El área entre

6 \cdot \ln (x)

x \cdot \ln (x)

[1; 6]

es la integral del valor absoluto de su diferencia

No hay intersecciones interiores: la diferencia mantiene su signo en el intervalo

[1; 6]

6 \cdot \ln (x)

está por encima de

x \cdot \ln (x)

: integremos

6 \cdot \ln (x) - x \cdot \ln (x)

⇥1.2) Calculemos la integral:

\int_{1}^{6} (6 \cdot \ln (x) - x \cdot \ln (x)) d x

⇥ⅰ

\int (6 \cdot \ln (x) - x \cdot \ln (x)) d x

\int 6 \cdot \ln (x) d x - \int x \cdot \ln (x) d x

⇥

\int 6 \cdot \ln (x) d x - \int x \cdot \ln (x) d x

⇥⇥Sacamos el factor constante

6

de la integral. Para

6 \cdot \ln (x)

, utilizamos la integración por partes:

\int 6 \cdot u1 \cdot v2' d x = 6 \cdot (u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x)

con u1 =

\ln (x)

y v2' =

1

⇥⇥1.2.1) Derivemos u1:

\frac{d}{d x} (\ln (x))

⇥⇥ⓘ La derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

⇥⇥

\frac{1}{x}

⇥⇥1.2.2) Integremos v2':

\int 1 d x

⇥⇥ⓘ La derivada de

x

1

, por lo que

x

es una primitiva de

1

\int 1 d x

x

⇥⇥

x

⇥⇥1.2.3) Calculemos

u1' \cdot v2

\frac{1}{x} \cdot x

⇥⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{x} \cdot x

\frac{1 \cdot x}{x}

\frac{x}{x}

■El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común

x

\frac{x}{x}

1

⇥⇥

1

⇥⇥1.2.4) Calculemos

6 \cdot (u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x)

6 \cdot (\ln (x) \cdot x - \int 1 d x)

⇥⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

6 \cdot (\ln (x) \cdot x - \int 1 d x)

6 \cdot \ln (x) \cdot x + 6 \cdot (- \int 1 d x)

■La derivada de

- x

-1

, por lo que

- x

es una primitiva de

-1

- \int 1 d x

- x

⇥⇥

6 \cdot \ln (x) \cdot x + 6 \cdot (- x)

⇥⇥ⓘ Colocamos el signo menos delante del producto:

6 \cdot (- x)

- 6 x

⇥⇥

6 \cdot \ln (x) \cdot x - 6 x

⇥Después continuamos la integración:

⇥⇥Para

x \cdot \ln (x)

, utilizamos la integración por partes:

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

con u1 =

\ln (x)

y v2' =

x

⇥⇥1.2.5) Derivemos u1:

\frac{d}{d x} (\ln (x))

⇥⇥ⓘ La derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

⇥⇥

\frac{1}{x}

⇥⇥1.2.6) Integremos v2':

\int x d x

⇥⇥ⓘ Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

\int x d x

\frac{x^{2}}{2}

⇥⇥

\frac{x^{2}}{2}

⇥⇥1.2.7) Calculemos

u1' \cdot v2

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2}}{2}

⇥⇥ⓘ Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{1 \cdot x^{2}}{x \cdot 2}

\frac{x^{2}}{x \cdot 2}

■El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común:

\frac{x^{2}}{x \cdot 2}

\frac{x}{2}

⇥⇥

\frac{x}{2}

⇥⇥1.2.8) Calculemos

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

\ln (x) \cdot \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x

⇥⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\ln (x) \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{\ln (x) \cdot x^{2}}{2}

■Un factor constante se mantiene delante de la integral. Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

- \int \frac{x}{2} d x

- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}

⇥⇥

\frac{\ln (x) \cdot x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}

⇥⇥ⓘ Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{1 \cdot x^{2}}{2 \cdot 2}

\frac{x^{2}}{4}

⇥⇥

\frac{\ln (x) \cdot x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

⇥⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{\ln (x) \cdot x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

\frac{2 \cdot \ln (x) \cdot x^{2} - x^{2}}{4}

⇥⇥

\frac{2 \cdot \ln (x) \cdot x^{2} - x^{2}}{4}

⇥⇥ⓘ Extraemos el factor común de los términos para poder simplificar la fracción:

\frac{2 \cdot \ln (x) \cdot x^{2} - x^{2}}{4}

\frac{x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (x) - 1)}{4}

⇥⇥

\frac{x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (x) - 1)}{4}

⇥Finalmente terminamos la integración:

⇥ⅰ

- \int x \cdot \ln (x) d x

- \frac{x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (x) - 1)}{4}

⇥

(6 \cdot \ln (x) \cdot x - 6 x) - \frac{x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (x) - 1)}{4}

▷

6 \cdot \ln (x) \cdot x - 6 x - \frac{x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (x) - 1)}{4}

⇥1.3) Evaluemos en el intervalo

[1; 6]

(- \frac{6^{2} \cdot (2 \cdot \ln (6) - 1)}{4} + 6 \cdot 6 \cdot \ln (6) - 6 \cdot 6) - (- \frac{1^{2} \cdot (2 \cdot \ln (1) - 1)}{4} + 6 \cdot 1 \cdot \ln (1) - 6 \cdot 1)

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

6^{2}

6 \cdot 6

36

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

6 \cdot 6

36

■Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (- \frac{1^{2} \cdot (2 \cdot \ln (1) - 1)}{4} + 6 \cdot 1 \cdot \ln (1) - 6 \cdot 1)

\frac{1^{2} \cdot (2 \cdot \ln (1) - 1)}{4} - 6 \cdot 1 \cdot \ln (1) + 6 \cdot 1

⇥

- \frac{36 \cdot (2 \cdot \ln (6) - 1)}{4}

+ 36 \cdot \ln (6)

- 36

+ \frac{1^{2} \cdot (2 \cdot \ln (1) - 1)}{4}

- 6 \cdot 1 \cdot \ln (1)

+ 6 \cdot 1

⇥ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

- \frac{36 \cdot (2 \cdot \ln (6) - 1)}{4}

- 9 \cdot (2 \cdot \ln (6) - 1)

⇥

- 9 \cdot (2 \cdot \ln (6) - 1)

+ 36 \cdot \ln (6)

- 36

+ \frac{2 \cdot \ln (1) - 1}{4}

- 6 \cdot \ln (1)

+ 6

⇥ⓘ Partimos de

-36

y avanzamos

6

en la recta numérica, acercándonos al cero:

- 36 + 6

-30

⇥ⅰ

\frac{2 \cdot \ln (1) - 1}{4} - 6 \cdot \ln (1)

\frac{(2 \cdot \ln (1) - 1) + 4 \cdot (- 6 \cdot \ln (1))}{4}

⇥

- 9 \cdot (2 \cdot \ln (6) - 1)

+ 36 \cdot \ln (6)

- 30

+ \frac{(2 \cdot \ln (1) - 1) + 4 \cdot (- 6 \cdot \ln (1))}{4}

⇥ⓘ

\ln (1) = 0

, ya que

\exp (0) = 1

\ln (1)

0

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

4 \cdot (-6)

-24

⇥

- 9 \cdot (2 \cdot \ln (6) - 1)

+ 36 \cdot \ln (6)

- 30

+ \frac{2 \cdot 0 - 1 - 24 \cdot 0}{4}

⇥ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

2 \cdot 0

0

-24 \cdot 0

0

⇥

- 9 \cdot (2 \cdot \ln (6) - 1)

+ 36 \cdot \ln (6)

- 30

+ \frac{0 - 1 + 0}{4}

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - 1 + 0

-1

■Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

- 30 - \frac{1}{4}

\frac{4 \cdot (-30) - 1}{4}

⇥

- 9 \cdot (2 \cdot \ln (6) - 1) + 36 \cdot \ln (6) + \frac{4 \cdot (-30) - 1}{4}

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

4 \cdot (-30)

-120

⇥

- 9 \cdot (2 \cdot \ln (6) - 1) + 36 \cdot \ln (6) + \frac{- 120 - 1}{4}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 120 - 1

-121

⇥

- 9 \cdot (2 \cdot \ln (6) - 1) + 36 \cdot \ln (6) - \frac{121}{4}

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- 9 \cdot (2 \cdot \ln (6) - 1)

- (18 \cdot \ln (6) - 9)

⇥

- (18 \cdot \ln (6) - 9) + 36 \cdot \ln (6) - \frac{121}{4}

⇥ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (18 \cdot \ln (6) - 9)

- 18 \cdot \ln (6) + 9

⇥

- 18 \cdot \ln (6)

+ 9

+ 36 \cdot \ln (6)

- \frac{121}{4}

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

9 - \frac{121}{4}

\frac{4 \cdot 9 - 121}{4}

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- 18 \cdot \ln (6) + 36 \cdot \ln (6)

18 \cdot \ln (6)

⇥

18 \cdot \ln (6) + \frac{4 \cdot 9 - 121}{4}

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 9

36

⇥

18 \cdot \ln (6) + \frac{36 - 121}{4}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

36 - 121

-85

⇥

18 \cdot \ln (6) - \frac{85}{4}

El área en

[1; 6]

vale

18 \cdot \ln (6) - \frac{85}{4}

▶Área:

18 \cdot \ln (6) - \frac{85}{4}

2) El valor numérico de:

18 \cdot \ln (6) - \frac{85}{4}

es:

18 \cdot \approx 1,7918 - 21,25

\approx 32,2517 - 21,25

▷

\approx 11,0017