área x,0,-1,1 — solución paso a paso

1) El área entre

x

0

[-1; 1]

es la integral del valor absoluto de su diferencia

Dividamos el intervalo en las intersecciones interiores:

(-1; 0; 1)

[-1; 0]

0

está por encima de

x

: integremos

- x

⇥1.1) Calculemos la integral:

\int_{-1}^{0} (- x) d x

⇥ⓘ Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

\int (- x) d x

- \frac{x^{2}}{2}

▷

- \frac{x^{2}}{2}

⇥1.2) Evaluemos en el intervalo

[-1; 0]

- \frac{0^{2}}{2} + \frac{{(-1)}^{2}}{2}

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

⇥

0 + \frac{1}{2}

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + \frac{1}{2}

\frac{1}{2}

⇥

\frac{1}{2}

El área en

[-1; 0]

vale

\frac{1}{2}

[0; 1]

x

está por encima de

0

: integremos

x

⇥1.3) Calculemos la integral:

\int_{0}^{1} x d x

⇥ⓘ Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

\int x d x

\frac{x^{2}}{2}

▷

\frac{x^{2}}{2}

⇥1.4) Evaluemos en el intervalo

[0; 1]

\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}

⇥

\frac{1}{2} + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{1}{2} + 0

\frac{1}{2}

⇥

\frac{1}{2}

El área en

[0; 1]

vale

\frac{1}{2}

⇥

\frac{1}{2} + \frac{1}{2}

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{1}{2} + \frac{1}{2}

\frac{1 + 1}{2}

⇥

\frac{1 + 1}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 + 1

2

⇥

\frac{2}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{2}{2}

1

▶Área:

1