área x=y^2,x=2y — solución paso a paso

1) Consideremos las dos curvas de ecuaciones

x = y^{2}

x = 2 y

En las intersecciones,

y^{2}

2 y

. Restemos la segunda expresión a la primera:

y^{2} - 2 y = 0

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

y^{2} - 2 y = 0

⇥Podemos factorizar la expresión

y^{2} - 2 y

como

y \cdot (y - 2)

⇥Un producto es nulo si y solo si al menos uno de sus factores es nulo: igualamos cada factor a 0 y resolvemos

⇥⇥1.1.1) Resolvamos en

ℝ

y = 0

⇥⇥Solución obtenida:

y = 0

⇥⇥1.1.2) Resolvamos en

ℝ

y - 2 = 0

⇥⇥Solución obtenida:

y = 2

El área entre

y^{2}

2 y

[0; 2]

es la integral del valor absoluto de su diferencia

No hay intersecciones interiores: la diferencia mantiene su signo en el intervalo

[0; 2]

2 y

está a la derecha de

y^{2}

: integremos

- y^{2} + 2 y

respecto a

y

⇥1.2) Integremos:

\int_{0}^{2} (- y^{2} + 2 y) d y

⇥ⅰ

\int (- y^{2} + 2 y) d y

- \int y^{2} d y + \int 2 y d y

⇥

- \int y^{2} d y + \int 2 y d y

⇥ⓘ Una primitiva de

y^{n}

\frac{y^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

- \int y^{2} d y

- \frac{y^{3}}{3}

■Un factor constante se mantiene delante de la integral. Una primitiva de

y^{n}

\frac{y^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

\int 2 y d y

2 \cdot \frac{y^{2}}{2}

⇥

- \frac{y^{3}}{3} + 2 \cdot \frac{y^{2}}{2}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

2 \cdot \frac{y^{2}}{2}

\frac{2 y^{2}}{2}

■Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{2 y^{2}}{2}

y^{2}

▷

- \frac{y^{3}}{3} + y^{2}

⇥1.3) Evaluemos en el intervalo

[0; 2]

(2^{2} - \frac{2^{3}}{3}) - (0^{2} - \frac{0^{3}}{3})

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

■Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (0^{2} - \frac{0^{3}}{3})

- 0^{2} + \frac{0^{3}}{3}

⇥

4

- \frac{8}{3}

- 0^{2}

+ \frac{0^{3}}{3}

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

4 - \frac{8}{3}

\frac{3 \cdot 4 - 8}{3}

■Sumar 0 no cambia nada:

0 + 0

0

⇥

\frac{3 \cdot 4 - 8}{3} + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{3 \cdot 4 - 8}{3} + 0

\frac{3 \cdot 4 - 8}{3}

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \cdot 4

12

⇥

\frac{12 - 8}{3}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

12 - 8

4

⇥

\frac{4}{3}

El área en

[0; 2]

vale

\frac{4}{3}

▶Área:

\frac{4}{3}

2) El valor numérico de:

\frac{4}{3}

es:

▷

\approx 1,3333