área x=y^2-4y,x=2y-y^2 — solución paso a paso

1) Consideremos las dos curvas de ecuaciones

x = y^{2} - 4 y

x = 2 y - y^{2}

En las intersecciones,

y^{2} - 4 y

2 y - y^{2}

. Restemos la segunda expresión a la primera:

(y^{2} - 4 y) - (2 y - y^{2})

= 0, es decir,

2 y^{2} - 6 y = 0

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

2 y^{2} - 6 y = 0

⇥Podemos factorizar la expresión

2 y^{2} - 6 y

como

y \cdot (2 y - 6)

⇥Un producto es nulo si y solo si al menos uno de sus factores es nulo: igualamos cada factor a 0 y resolvemos

⇥⇥1.1.1) Resolvamos en

ℝ

y = 0

⇥⇥Solución obtenida:

y = 0

⇥⇥1.1.2) Resolvamos en

ℝ

2 y - 6 = 0

⇥⇥

2 y = 6

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

⇥⇥

y = \frac{6}{2}

⇥⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{6}{2}

3

⇥⇥Solución obtenida:

y = 3

El área entre

y^{2} - 4 y

2 y - y^{2}

[0; 3]

es la integral del valor absoluto de su diferencia

No hay intersecciones interiores: la diferencia mantiene su signo en el intervalo

[0; 3]

2 y - y^{2}

está a la derecha de

y^{2} - 4 y

: integremos

- 2 y^{2} + 6 y

respecto a

y

⇥1.2) Integremos:

\int_{0}^{3} (- 2 y^{2} + 6 y) d y

⇥ⅰ

\int (- 2 y^{2} + 6 y) d y

- \int 2 y^{2} d y + \int 6 y d y

⇥

- \int 2 y^{2} d y + \int 6 y d y

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la integral. Una primitiva de

y^{n}

\frac{y^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

- \int 2 y^{2} d y

- 2 \cdot \frac{y^{3}}{3}

\int 6 y d y

6 \cdot \frac{y^{2}}{2}

⇥

- 2 \cdot \frac{y^{3}}{3} + 6 \cdot \frac{y^{2}}{2}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

2 \cdot \frac{y^{3}}{3}

\frac{2 y^{3}}{3}

6 \cdot \frac{y^{2}}{2}

\frac{6 y^{2}}{2}

■Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{6 y^{2}}{2}

3 y^{2}

▷

- \frac{2 y^{3}}{3} + 3 y^{2}

⇥1.3) Evaluemos en el intervalo

[0; 3]

(3 \cdot 3^{2} - \frac{2 \cdot 3^{3}}{3}) - (3 \cdot 0^{2} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

3^{2}

3 \cdot 3

9

3^{3}

3 \cdot 3 \cdot 3

27

■Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (3 \cdot 0^{2} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})

- 3 \cdot 0^{2} + \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}

⇥

3 \cdot 9

- \frac{2 \cdot 27}{3}

- 3 \cdot 0^{2}

+ \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \cdot 9

27

■Un producto con un factor nulo es nulo:

-3 \cdot 0

0

2 \cdot 0

0

⇥ⅰ

2 \cdot 27

2 \cdot (20 + 7)

2 \cdot 20 + 2 \cdot 7

40 + 14

54

⇥

27

- \frac{54}{3}

+ 0

+ 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

- \frac{54}{3} + 0 + 0

- \frac{54}{3}

■Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

3

, su máximo común divisor:

- \frac{54}{3}

-18

⇥

27 - 18

⇥ⓘ Partimos de

27

y retrocedemos

18

en la recta numérica:

27 - 18

9

⇥

9

El área en

[0; 3]

vale

9

▶Área:

9