área x^2,0,-1,1 — solución paso a paso

1) El área entre

x^{2}

0

[-1; 1]

es la integral del valor absoluto de su diferencia

Dividamos el intervalo en las intersecciones interiores:

(-1; 0; 1)

[-1; 0]

x^{2}

está por encima de

0

: integremos

x^{2}

⇥1.1) Integremos:

\int_{-1}^{0} x^{2} d x

⇥ⓘ Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

\int x^{2} d x

\frac{x^{3}}{3}

▷

\frac{x^{3}}{3}

⇥1.2) Evaluemos en el intervalo

[-1; 0]

\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(-1)}^{3}}{3}

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

⇥

0 - (\frac{-1}{3})

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - (\frac{-1}{3})

- (\frac{-1}{3})

■Dos signos menos se cancelan:

- (\frac{-1}{3})

\frac{1}{3}

⇥

\frac{1}{3}

El área en

[-1; 0]

vale

\frac{1}{3}

[0; 1]

x^{2}

está por encima de

0

: integremos

x^{2}

⇥1.3) Integremos:

\int_{0}^{1} x^{2} d x

⇥ⓘ Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

\int x^{2} d x

\frac{x^{3}}{3}

▷

\frac{x^{3}}{3}

⇥1.4) Evaluemos en el intervalo

[0; 1]

\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}

⇥

\frac{1}{3} + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{1}{3} + 0

\frac{1}{3}

⇥

\frac{1}{3}

El área en

[0; 1]

vale

\frac{1}{3}

⇥

\frac{1}{3} + \frac{1}{3}

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{1}{3} + \frac{1}{3}

\frac{1 + 1}{3}

⇥

\frac{1 + 1}{3}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 + 1

2

▶Área:

\frac{2}{3}

2) El valor numérico de:

\frac{2}{3}

vale:

▷

\approx 0,6667