área y=12-x^2,y=x^2-6 — solución paso a paso

1) Consideremos las dos curvas de ecuaciones

y = 12 - x^{2}

y = x^{2} - 6

En las intersecciones,

12 - x^{2}

x^{2} - 6

. Restemos la segunda expresión a la primera:

(12 - x^{2}) - (x^{2} - 6)

= 0, es decir,

18 - 2 x^{2} = 0

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

18 - 2 x^{2} = 0

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

-2

⇥

x^{2} = 9

⇥Los dos números cuyo cuadrado vale

9

son

-3

3

⇥Soluciones obtenidas:

x = {-3; 3}

El área entre

12 - x^{2}

x^{2} - 6

[-3; 3]

es la integral del valor absoluto de su diferencia

No hay intersecciones interiores: la diferencia mantiene su signo en el intervalo

[-3; 3]

12 - x^{2}

está por encima de

x^{2} - 6

: integremos

18 - 2 x^{2}

⇥1.2) Integremos:

\int_{-3}^{3} (18 - 2 x^{2}) d x

⇥ⅰ

\int (18 - 2 x^{2}) d x

\int 18 d x - \int 2 x^{2} d x

⇥

\int 18 d x - \int 2 x^{2} d x

⇥ⓘ La derivada de

18 x

18

, por lo que

18 x

es una primitiva de

18

\int 18 d x

18 x

■Un factor constante se mantiene delante de la integral. Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

- \int 2 x^{2} d x

- 2 \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥

18 x - 2 \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

2 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{2 x^{3}}{3}

▷

18 x - \frac{2 x^{3}}{3}

⇥1.3) Evaluemos en el intervalo

[-3; 3]

(18 \cdot 3 - \frac{2 \cdot 3^{3}}{3}) - (18 \cdot (-3) - \frac{2 \cdot {(-3)}^{3}}{3})

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

18 \cdot 3

(10 + 8) \cdot 3

10 \cdot 3 + 8 \cdot 3

30 + 24

54

■Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

3^{3}

3 \cdot 3 \cdot 3

27

■Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (18 \cdot (-3) - \frac{2 \cdot {(-3)}^{3}}{3})

- 18 \cdot (-3) + \frac{2 \cdot {(-3)}^{3}}{3}

⇥

54

- \frac{2 \cdot 27}{3}

- 18 \cdot (-3)

+ \frac{2 \cdot {(-3)}^{3}}{3}

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

-18 \cdot (-3)

18 \cdot 3

(10 + 8) \cdot 3

10 \cdot 3 + 8 \cdot 3

30 + 24

54

■Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-3)}^{3}

(-3) \cdot (-3) \cdot (-3)

-27

⇥ⅰ

2 \cdot 27

2 \cdot (20 + 7)

2 \cdot 20 + 2 \cdot 7

40 + 14

54

⇥

54

- \frac{54}{3}

+ 54

+ \frac{2 \cdot (-27)}{3}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

3

, su máximo común divisor:

- \frac{54}{3}

-18

■Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

2 \cdot (-27)

- 2 \cdot 27

- 2 \cdot (20 + 7)

- (2 \cdot 20 + 2 \cdot 7)

- (40 + 14)

-54

⇥

54

- 18

+ 54

- \frac{54}{3}

⇥ⓘ Partimos de

54

y retrocedemos

18

en la recta numérica:

54 - 18

36

■Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

3

, su máximo común divisor:

- \frac{54}{3}

-18

⇥

36 + 54 - 18

⇥ⓘ Partimos de

36

y avanzamos

54

en la recta numérica:

36 + 54

90

⇥

90 - 18

⇥ⓘ Partimos de

90

y retrocedemos

18

en la recta numérica:

90 - 18

72

⇥

72

El área en

[-3; 3]

vale

72

▶Área:

72