área y=2x^2,y=2x+6 — solución paso a paso

1) Consideremos las dos curvas de ecuaciones

y = 2 x^{2}

y = 2 x + 6

En las intersecciones,

2 x^{2}

2 x + 6

. Restemos la segunda expresión a la primera:

2 x^{2} - (2 x + 6)

= 0, es decir,

2 x^{2} - 2 x - 6 = 0

Resolvamos en

ℝ

2 x^{2} - 2 x - 6 = 0

Como

2 \neq 0

, dividimos ambos miembros por

2

x^{2} - x - 3 = 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -1

c = -3

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

Δ = 1 - 4 \cdot (-3)

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-3)

12

Δ = 1 + 12

ⓘ Partimos de

1

y avanzamos

12

en la recta numérica:

1 + 12

13

Δ = 13

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{13}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{13}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}

Soluciones obtenidas:

x = {\frac{1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{1 + \sqrt{13}}{2}}

El área entre

2 x^{2}

2 x + 6

[\frac{1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{1 + \sqrt{13}}{2}]

es la integral del valor absoluto de su diferencia

No hay intersecciones interiores: la diferencia mantiene su signo en el intervalo

[\frac{1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{1 + \sqrt{13}}{2}]

2 x + 6

está por encima de

2 x^{2}

: integremos

- 2 x^{2} + 2 x + 6

Entre sus raíces

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}

- 2 x^{2} + 2 x + 6

-2 \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

Con

u = x - x_{1}

d = x_{2} - x_{1}

, la integral de

(x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

x_{1}

x_{2}

es la de

u \cdot (u - d)

de 0 a

d

\frac{d^{3}}{3} - \frac{d^{3}}{2} = - \frac{d^{3}}{6}

, por lo que el área vale

\frac{2 d^{3}}{6}

Calculemos

d = x_{2} - x_{1}

⇥

\frac{1 + \sqrt{13}}{2} - \frac{1 - \sqrt{13}}{2}

⇥ⓘ El signo menos de la fracción pasa al numerador o al denominador y cambia el signo de cada uno de sus términos:

- \frac{1 - \sqrt{13}}{2}

\frac{- 1 + \sqrt{13}}{2}

⇥

\frac{1 + \sqrt{13}}{2} + \frac{- 1 + \sqrt{13}}{2}

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{1 + \sqrt{13}}{2} + \frac{- 1 + \sqrt{13}}{2}

\frac{(1 + \sqrt{13}) + (- 1 + \sqrt{13})}{2}

⇥

\frac{(1 + \sqrt{13}) + (- 1 + \sqrt{13})}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 - 1

0

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

\sqrt{13} + \sqrt{13}

2 \cdot \sqrt{13}

⇥

\frac{0 + 2 \cdot \sqrt{13}}{2}

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 2 \cdot \sqrt{13}

2 \cdot \sqrt{13}

■Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{2 \cdot \sqrt{13}}{2}

\sqrt{13}

⇥

\sqrt{13}

Por tanto, el área vale

\frac{2 d^{3}}{6}

⇥

\frac{2 \cdot {(\sqrt{13})}^{3}}{6}

⇥ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{2 \cdot {(\sqrt{13})}^{3}}{6}

\frac{{(\sqrt{13})}^{3}}{3}

⇥

\frac{{(\sqrt{13})}^{3}}{3}

⇥ⓘ En una potencia de una potencia se multiplican los exponentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(\sqrt{13})}^{3}

13^{\frac{1}{2} \cdot 3}

⇥

\frac{13^{\frac{1}{2} \cdot 3}}{3}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{2} \cdot 3

\frac{1 \cdot 3}{2}

\frac{3}{2}

⇥

\frac{13^{\frac{3}{2}}}{3}

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas:

13^{\frac{3}{2}}

13 \cdot \sqrt{13}

⇥

\frac{13 \cdot \sqrt{13}}{3}

El área en

[\frac{1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{1 + \sqrt{13}}{2}]

vale

\frac{13 \cdot \sqrt{13}}{3}

▶Área:

\frac{13 \cdot \sqrt{13}}{3}

2) El valor numérico de:

\frac{13 \cdot \sqrt{13}}{3}

es:

\frac{13 \cdot \approx 3,6056}{3}

\frac{\approx 46,8722}{3}

▷

\approx 15,6241