área y=4x^2,y=x^2+6 — solución paso a paso

1) Consideremos las dos curvas de ecuaciones

y = 4 x^{2}

y = x^{2} + 6

En las intersecciones,

4 x^{2}

x^{2} + 6

. Restemos la segunda expresión a la primera:

4 x^{2} - (x^{2} + 6)

= 0, es decir,

3 x^{2} - 6 = 0

Resolvamos en

ℝ

3 x^{2} - 6 = 0

ⓘ Dividimos ambos miembros por

3

x^{2} = 2

Los dos números cuyo cuadrado vale

2

son

- \sqrt{2}

\sqrt{2}

Soluciones encontradas:

x = {- \sqrt{2}; \sqrt{2}}

El área entre

4 x^{2}

x^{2} + 6

[- \sqrt{2}; \sqrt{2}]

es la integral del valor absoluto de su diferencia

No hay intersecciones interiores: la diferencia mantiene su signo en el intervalo

[- \sqrt{2}; \sqrt{2}]

x^{2} + 6

está por encima de

4 x^{2}

: integremos

- 3 x^{2} + 6

Entre sus raíces

x_{1} = - \sqrt{2}

x_{2} = \sqrt{2}

- 3 x^{2} + 6

-3 \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

Con

u = x - x_{1}

d = x_{2} - x_{1}

, la integral de

(x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

x_{1}

x_{2}

es la de

u \cdot (u - d)

de 0 a

d

\frac{d^{3}}{3} - \frac{d^{3}}{2} = - \frac{d^{3}}{6}

, por lo que el área vale

\frac{3 d^{3}}{6}

Calculemos

d = x_{2} - x_{1}

⇥

\sqrt{2} + \sqrt{2}

⇥ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

\sqrt{2} + \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2}

⇥

2 \cdot \sqrt{2}

Por tanto, el área vale

\frac{3 d^{3}}{6}

⇥

\frac{3 \cdot {(2 \cdot \sqrt{2})}^{3}}{6}

⇥ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{3 \cdot {(2 \cdot \sqrt{2})}^{3}}{6}

\frac{{(2 \cdot \sqrt{2})}^{3}}{2}

⇥

\frac{{(2 \cdot \sqrt{2})}^{3}}{2}

⇥ⓘ La potencia de un producto es el producto de las potencias:

{(2 \cdot \sqrt{2})}^{3}

2^{3} \cdot {(\sqrt{2})}^{3}

⇥

\frac{2^{3} \cdot {(\sqrt{2})}^{3}}{2}

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

■En una potencia de una potencia se multiplican los exponentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(\sqrt{2})}^{3}

2^{\frac{1}{2} \cdot 3}

⇥

\frac{8 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 3}}{2}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{2} \cdot 3

\frac{1 \cdot 3}{2}

\frac{3}{2}

■Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{8 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{2}

4 \cdot 2^{\frac{3}{2}}

⇥

4 \cdot 2^{\frac{3}{2}}

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas:

2^{\frac{3}{2}}

2 \cdot \sqrt{2}

⇥

4 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}

⇥ⅰ

4 \cdot 2

8

⇥

8 \cdot \sqrt{2}

El área en

[- \sqrt{2}; \sqrt{2}]

vale

8 \cdot \sqrt{2}

▶Área:

8 \cdot \sqrt{2}

2) El valor numérico de:

8 \cdot \sqrt{2}

es:

8 \cdot \approx 1,4142

▷

\approx 11,3137