área y=6x,y=3x^2 — solución paso a paso

1) Consideremos las dos curvas de ecuaciones

y = 6 x

y = 3 x^{2}

En las intersecciones,

6 x

3 x^{2}

. Restemos la segunda expresión a la primera:

6 x - 3 x^{2} = 0

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

6 x - 3 x^{2} = 0

⇥Podemos factorizar la expresión

6 x - 3 x^{2}

como

x \cdot (6 - 3 x)

⇥Un producto es nulo si y solo si al menos uno de sus factores es nulo: igualamos cada factor a 0 y resolvemos

⇥⇥1.1.1) Resolvamos en

ℝ

x = 0

⇥⇥Solución obtenida:

x = 0

⇥⇥1.1.2) Resolvamos en

ℝ

6 - 3 x = 0

⇥⇥

3 x = 6

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

3

⇥⇥

x = \frac{6}{3}

⇥⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

3

, su máximo común divisor:

\frac{6}{3}

2

⇥⇥Solución obtenida:

x = 2

El área entre

6 x

3 x^{2}

[0; 2]

es la integral del valor absoluto de su diferencia

No hay intersecciones interiores: la diferencia mantiene su signo en el intervalo

[0; 2]

6 x

está por encima de

3 x^{2}

: integremos

6 x - 3 x^{2}

⇥1.2) Calculemos la integral:

\int_{0}^{2} (6 x - 3 x^{2}) d x

⇥ⅰ

\int (6 x - 3 x^{2}) d x

\int 6 x d x - \int 3 x^{2} d x

⇥

\int 6 x d x - \int 3 x^{2} d x

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la integral. Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

\int 6 x d x

6 \cdot \frac{x^{2}}{2}

- \int 3 x^{2} d x

- 3 \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥

6 \cdot \frac{x^{2}}{2} - 3 \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

6 \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{6 x^{2}}{2}

3 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{3 x^{3}}{3}

■Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{6 x^{2}}{2}

3 x^{2}

- \frac{3 x^{3}}{3}

- x^{3}

⇥

3 x^{2} - x^{3}

⇥Podemos factorizar la expresión como:

x^{2} \cdot (3 - x)

▷

x^{2} \cdot (3 - x)

⇥1.3) Evaluemos en el intervalo

[0; 2]

2^{2} \cdot (3 - 2) - 0^{2} \cdot (3 + 0)

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

■Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

3 - 2

1

■Multiplicar por 1 no cambia nada:

4 \cdot 1

4

■Sumar 0 no cambia nada:

3 + 0

3

■Un producto con un factor nulo es nulo:

0 \cdot 3

0

⇥

4 + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

4 + 0

4

⇥

4

El área en

[0; 2]

vale

4

▶Área:

4