área y=x+4,y=x^2+x-12 — solución paso a paso

1) Consideremos las dos curvas de ecuaciones

y = x + 4

y = x^{2} + x - 12

En las intersecciones,

x + 4

x^{2} + x - 12

. Restemos la segunda expresión a la primera:

(x + 4) - (x^{2} + x - 12)

= 0, es decir,

16 - x^{2} = 0

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

16 - x^{2} = 0

⇥Los dos números cuyo cuadrado vale

16

son

-4

4

⇥Soluciones encontradas:

x = {-4; 4}

El área entre

x + 4

x^{2} + x - 12

[-4; 4]

es la integral del valor absoluto de su diferencia

No hay intersecciones interiores: la diferencia mantiene su signo en el intervalo

[-4; 4]

x + 4

está por encima de

x^{2} + x - 12

: integremos

16 - x^{2}

⇥1.2) Calculemos la integral:

\int_{-4}^{4} (16 - x^{2}) d x

⇥ⅰ

\int (16 - x^{2}) d x

\int 16 d x - \int x^{2} d x

⇥

\int 16 d x - \int x^{2} d x

⇥ⓘ La derivada de

16 x

16

, por lo que

16 x

es una primitiva de

16

\int 16 d x

16 x

■Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

- \int x^{2} d x

- \frac{x^{3}}{3}

▷

16 x - \frac{x^{3}}{3}

⇥1.3) Evaluemos en el intervalo

[-4; 4]

(16 \cdot 4 - \frac{4^{3}}{3}) - (16 \cdot (-4) - \frac{{(-4)}^{3}}{3})

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

16 \cdot 4

(10 + 6) \cdot 4

10 \cdot 4 + 6 \cdot 4

40 + 24

64

■Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

4^{3}

4 \cdot 4 \cdot 4

64

■Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (16 \cdot (-4) - \frac{{(-4)}^{3}}{3})

- 16 \cdot (-4) + \frac{{(-4)}^{3}}{3}

⇥

64

- \frac{64}{3}

- 16 \cdot (-4)

+ \frac{{(-4)}^{3}}{3}

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

64 - \frac{64}{3}

\frac{3 \cdot 64 - 64}{3}

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

-16 \cdot (-4)

16 \cdot 4

(10 + 6) \cdot 4

10 \cdot 4 + 6 \cdot 4

40 + 24

64

■Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-4)}^{3}

(-4) \cdot (-4) \cdot (-4)

-64

⇥

\frac{3 \cdot 64 - 64}{3} + 64 - \frac{64}{3}

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \cdot 64

3 \cdot (60 + 4)

3 \cdot 60 + 3 \cdot 4

180 + 12

192

■Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

64 - \frac{64}{3}

\frac{3 \cdot 64 - 64}{3}

⇥

\frac{192 - 64}{3} + \frac{3 \cdot 64 - 64}{3}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

192 - 64

128

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \cdot 64

3 \cdot (60 + 4)

3 \cdot 60 + 3 \cdot 4

180 + 12

192

⇥

\frac{128}{3} + \frac{192 - 64}{3}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

192 - 64

128

⇥

\frac{128}{3} + \frac{128}{3}

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{128}{3} + \frac{128}{3}

\frac{128 + 128}{3}

⇥

\frac{128 + 128}{3}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

128 + 128

256

⇥

\frac{256}{3}

El área en

[-4; 4]

vale

\frac{256}{3}

▶Área:

\frac{256}{3}

2) El valor numérico de:

\frac{256}{3}

es:

▷

\approx 85,3333