área y=x^2,x=y/2 — solución paso a paso

1) Despejemos

y

x = \frac{y}{2}

y = 2 x

Consideremos las dos curvas de ecuaciones

y = x^{2}

y = 2 x

En las intersecciones,

x^{2}

2 x

. Restemos la segunda expresión a la primera:

x^{2} - 2 x = 0

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

x^{2} - 2 x = 0

⇥Podemos factorizar la expresión

x^{2} - 2 x

como

x \cdot (x - 2)

⇥Un producto es nulo si y solo si al menos uno de sus factores es nulo: igualamos cada factor a 0 y resolvemos

⇥⇥1.1.1) Resolvamos en

ℝ

x = 0

⇥⇥Solución encontrada:

x = 0

⇥⇥1.1.2) Resolvamos en

ℝ

x - 2 = 0

⇥⇥Solución encontrada:

x = 2

El área entre

x^{2}

2 x

[0; 2]

es la integral del valor absoluto de su diferencia

No hay intersecciones interiores: la diferencia mantiene su signo en el intervalo

[0; 2]

2 x

está por encima de

x^{2}

: integremos

- x^{2} + 2 x

⇥1.2) Calculemos la integral:

\int_{0}^{2} (- x^{2} + 2 x) d x

⇥ⅰ

\int (- x^{2} + 2 x) d x

- \int x^{2} d x + \int 2 x d x

⇥

- \int x^{2} d x + \int 2 x d x

⇥ⓘ Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

- \int x^{2} d x

- \frac{x^{3}}{3}

■Un factor constante se mantiene delante de la integral. Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

\int 2 x d x

2 \cdot \frac{x^{2}}{2}

⇥

- \frac{x^{3}}{3} + 2 \cdot \frac{x^{2}}{2}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

2 \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{2 x^{2}}{2}

■Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{2 x^{2}}{2}

x^{2}

▷

- \frac{x^{3}}{3} + x^{2}

⇥1.3) Evaluemos en el intervalo

[0; 2]

(2^{2} - \frac{2^{3}}{3}) - (0^{2} - \frac{0^{3}}{3})

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

■Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (0^{2} - \frac{0^{3}}{3})

- 0^{2} + \frac{0^{3}}{3}

⇥

4

- \frac{8}{3}

- 0^{2}

+ \frac{0^{3}}{3}

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

4 - \frac{8}{3}

\frac{3 \cdot 4 - 8}{3}

■Sumar 0 no cambia nada:

0 + 0

0

⇥

\frac{3 \cdot 4 - 8}{3} + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{3 \cdot 4 - 8}{3} + 0

\frac{3 \cdot 4 - 8}{3}

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \cdot 4

12

⇥

\frac{12 - 8}{3}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

12 - 8

4

⇥

\frac{4}{3}

El área en

[0; 2]

vale

\frac{4}{3}

▶Área:

\frac{4}{3}

2) El valor numérico de:

\frac{4}{3}

es:

▷

\approx 1,3333