área y=x^2,y=2 — solución paso a paso

1) Consideremos las dos curvas de ecuaciones

y = x^{2}

y = 2

En las intersecciones,

x^{2}

2

. Restemos la segunda expresión a la primera:

x^{2} - 2 = 0

Resolvamos en

ℝ

x^{2} - 2 = 0

Los dos números cuyo cuadrado vale

2

son

- \sqrt{2}

\sqrt{2}

Soluciones obtenidas:

x = {- \sqrt{2}; \sqrt{2}}

El área entre

x^{2}

2

[- \sqrt{2}; \sqrt{2}]

es la integral del valor absoluto de su diferencia

No hay intersecciones interiores: la diferencia mantiene su signo en el intervalo

[- \sqrt{2}; \sqrt{2}]

2

está por encima de

x^{2}

: integremos

- x^{2} + 2

Entre sus raíces

x_{1} = - \sqrt{2}

x_{2} = \sqrt{2}

- x^{2} + 2

-1 \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

Con

u = x - x_{1}

d = x_{2} - x_{1}

, la integral de

(x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

x_{1}

x_{2}

es la de

u \cdot (u - d)

de 0 a

d

\frac{d^{3}}{3} - \frac{d^{3}}{2} = - \frac{d^{3}}{6}

, por lo que el área vale

\frac{d^{3}}{6}

Calculemos

d = x_{2} - x_{1}

⇥

\sqrt{2} + \sqrt{2}

⇥ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

\sqrt{2} + \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2}

⇥

2 \cdot \sqrt{2}

Por tanto, el área vale

\frac{d^{3}}{6}

⇥

\frac{{(2 \cdot \sqrt{2})}^{3}}{6}

⇥ⓘ La potencia de un producto es el producto de las potencias:

{(2 \cdot \sqrt{2})}^{3}

2^{3} \cdot {(\sqrt{2})}^{3}

⇥

\frac{2^{3} \cdot {(\sqrt{2})}^{3}}{6}

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

■En una potencia de una potencia se multiplican los exponentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(\sqrt{2})}^{3}

2^{\frac{1}{2} \cdot 3}

⇥

\frac{8 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 3}}{6}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{2} \cdot 3

\frac{1 \cdot 3}{2}

\frac{3}{2}

■Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{8 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{6}

\frac{4 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3}

⇥

\frac{4 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3}

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas:

2^{\frac{3}{2}}

2 \cdot \sqrt{2}

⇥

\frac{4 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}}{3}

⇥ⅰ

4 \cdot 2

8

⇥

\frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3}

El área en

[- \sqrt{2}; \sqrt{2}]

vale

\frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3}

▶Área:

\frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3}

2) El valor numérico de:

\frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3}

es:

\frac{8 \cdot \approx 1,4142}{3}

\frac{\approx 11,3137}{3}

▷

\approx 3,7712