área y=x^2-1,y=-x^2+1 — solución paso a paso

1) Consideremos las dos curvas de ecuaciones

y = x^{2} - 1

y = 1 - x^{2}

En las intersecciones,

x^{2} - 1

1 - x^{2}

. Restemos la segunda expresión a la primera:

(x^{2} - 1) - (1 - x^{2})

= 0, es decir,

2 x^{2} - 2 = 0

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

2 x^{2} - 2 = 0

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

⇥

x^{2} = 1

⇥Los dos números cuyo cuadrado vale

1

son

-1

1

⇥Soluciones encontradas:

x = {-1; 1}

El área entre

x^{2} - 1

1 - x^{2}

[-1; 1]

es la integral del valor absoluto de su diferencia

No hay intersecciones interiores: la diferencia mantiene su signo en el intervalo

[-1; 1]

1 - x^{2}

está por encima de

x^{2} - 1

: integremos

- 2 x^{2} + 2

⇥1.2) Calculemos la integral:

\int_{-1}^{1} (- 2 x^{2} + 2) d x

⇥ⅰ

\int (- 2 x^{2} + 2) d x

- \int 2 x^{2} d x + \int 2 d x

⇥

- \int 2 x^{2} d x + \int 2 d x

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la integral. Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

- \int 2 x^{2} d x

- 2 \cdot \frac{x^{3}}{3}

■La derivada de

2 x

2

, por lo que

2 x

es una primitiva de

2

\int 2 d x

2 x

⇥

- 2 \cdot \frac{x^{3}}{3} + 2 x

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

2 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{2 x^{3}}{3}

▷

- \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x

⇥1.3) Evaluemos en el intervalo

[-1; 1]

(2 \cdot 1 - \frac{2 \cdot 1^{3}}{3}) - (2 \cdot (-1) - \frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3})

⇥ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (2 \cdot (-1) - \frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3})

- 2 \cdot (-1) + \frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3}

⇥

2

- \frac{2}{3}

- 2 \cdot (-1)

+ \frac{2 \cdot {(-1)}^{3}}{3}

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

2 - \frac{2}{3}

\frac{3 \cdot 2 - 2}{3}

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

-2 \cdot (-1)

2

■Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

■Multiplicar por -1 da el opuesto:

2 \cdot (-1)

-2

⇥

\frac{3 \cdot 2 - 2}{3} + 2 - \frac{2}{3}

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \cdot 2

6

■Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

2 - \frac{2}{3}

\frac{3 \cdot 2 - 2}{3}

⇥

\frac{6 - 2}{3} + \frac{3 \cdot 2 - 2}{3}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

6 - 2

4

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \cdot 2

6

⇥

\frac{4}{3} + \frac{6 - 2}{3}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

6 - 2

4

⇥

\frac{4}{3} + \frac{4}{3}

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{4}{3} + \frac{4}{3}

\frac{4 + 4}{3}

⇥

\frac{4 + 4}{3}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

4 + 4

8

⇥

\frac{8}{3}

El área en

[-1; 1]

vale

\frac{8}{3}

▶Área:

\frac{8}{3}

2) El valor numérico de:

\frac{8}{3}

es:

▷

\approx 2,6667