área entre x^2 y x — solución paso a paso

1) Consideremos las dos curvas de ecuaciones

y = x^{2}

y = x

En las intersecciones,

x^{2}

x

. Restemos la segunda expresión a la primera:

x^{2} - x = 0

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

x^{2} - x = 0

⇥Podemos factorizar la expresión

x^{2} - x

como

x \cdot (x - 1)

⇥Un producto es nulo si y solo si al menos uno de sus factores es nulo: igualamos cada factor a 0 y resolvemos

⇥⇥1.1.1) Resolvamos en

ℝ

x = 0

⇥⇥Solución encontrada:

x = 0

⇥⇥1.1.2) Resolvamos en

ℝ

x - 1 = 0

⇥⇥Solución obtenida:

x = 1

El área entre

x^{2}

x

[0; 1]

es la integral del valor absoluto de su diferencia

No hay intersecciones interiores: la diferencia mantiene su signo en el intervalo

[0; 1]

x

está por encima de

x^{2}

: integremos

- x^{2} + x

⇥1.2) Calculemos la integral:

\int_{0}^{1} (- x^{2} + x) d x

⇥ⅰ

\int (- x^{2} + x) d x

- \int x^{2} d x + \int x d x

⇥

- \int x^{2} d x + \int x d x

⇥ⓘ Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

- \int x^{2} d x

- \frac{x^{3}}{3}

\int x d x

\frac{x^{2}}{2}

▷

- \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}

⇥1.3) Evaluemos en el intervalo

[0; 1]

(\frac{1^{2}}{2} - \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{3}}{3})

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores. Elegimos

6

, el mínimo común múltiplo de

2

3

. Multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número no cambia la fracción:

\frac{1}{2} - \frac{1}{3}

\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{-1 \cdot 2}{3 \cdot 2}

\frac{1 \cdot 3 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 3}

\frac{3 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 3}

■Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{3}}{3})

- \frac{0^{2}}{2} + \frac{0^{3}}{3}

⇥

\frac{3 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 3} - \frac{0^{2}}{2} + \frac{0^{3}}{3}

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

1 \cdot 2

2

⇥ⅰ

2 \cdot 3

6

⇥

\frac{3 - 2}{6} + 0 + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{3 - 2}{6} + 0 + 0

\frac{3 - 2}{6}

■El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

3 - 2

1

⇥

\frac{1}{6}

El área en

[0; 1]

vale

\frac{1}{6}

▶Área:

\frac{1}{6}

2) El valor numérico de:

\frac{1}{6}

es:

▷

\approx 0,1667