1/2*(dy)/(dx)=(2x)/(3y) — solución paso a paso

⚠ 1/2*(dy)/(dx)=(2x)/(3y) se interpreta como 1/2*y'=(2x)/(3y): utiliza dif(expression, variable) para una derivada respecto a esa variable, utiliza (numerador)/(denominador) para un cociente

Resolvamos la ecuación separable

\frac{1}{2} \cdot y' = \frac{2 x}{3 y}

, donde

y

es una función de

x

y \neq 0

Multiplicamos ambos miembros por

2

para despejar

y'

y' = \frac{4 x}{3 y}

Multiplicamos por

y

y separamos las variables:

y \cdot dy = \frac{4 x}{3} \cdot dx

⇥Calculemos la integral:

\int \frac{4 x}{3} d x

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la integral. Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

\int \frac{4 x}{3} d x

\frac{4}{3} \cdot \frac{x^{2}}{2}

⇥

\frac{4}{3} \cdot \frac{x^{2}}{2}

⇥ⓘ Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

\frac{4}{3} \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{4 x^{2}}{3 \cdot 2}

\frac{4 x^{2}}{6}

⇥

\frac{4 x^{2}}{6}

⇥ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{4 x^{2}}{6}

\frac{2 x^{2}}{3}

⇥

\frac{2 x^{2}}{3}

Al integrar ambos miembros, obtenemos

\frac{y^{2}}{2} = \frac{2 x^{2}}{3} + C

, donde

C

es una constante real arbitraria

Multiplicamos por

2

y renombramos

2 C

como

C

y^{2} = \frac{4 x^{2}}{3} + C

Las dos ramas reales tienen signo fijo en cada intervalo donde el segundo miembro inicial es real y

\frac{4 x^{2}}{3} + C

> 0, por lo que

y

= 0 queda excluido

▶Solución:

y = {- \sqrt{\frac{4 x^{2}}{3} + C}; \sqrt{\frac{4 x^{2}}{3} + C}}