114-36k-6k^2>0 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

114 - 36 k - 6 k^{2} > 0

Como

-6 < 0

, dividimos ambos miembros por

-6

invirtiendo el sentido de la desigualdad:

- 19 + 6 k + k^{2} < 0

Dada la forma cuadrática

a k^{2} + b k + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = 6

c = -19

Δ = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-19)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

6^{2}

6 \cdot 6

36

Δ = 36 - 4 \cdot (-19)

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-19)

4 \cdot 19

4 \cdot (10 + 9)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 9

40 + 36

76

Δ = 36 + 76

ⓘ Partimos de

36

y avanzamos

76

en la recta numérica:

36 + 76

112

Δ = 112

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

k_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 6 - \sqrt{112}}{2 \cdot 1}

k_{1} = \frac{- 6 - \sqrt{112}}{2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

112

16

4^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{112}

\sqrt{16 \cdot 7}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{7}

4 \cdot \sqrt{7}

■Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 6 - 4 \cdot \sqrt{7}

- (6 + 4 \cdot \sqrt{7})

k_{1} = - \frac{6 + 4 \cdot \sqrt{7}}{2}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

- \frac{6 + 4 \cdot \sqrt{7}}{2}

- \frac{2 \cdot (3 + 2 \cdot \sqrt{7})}{2}

- (3 + 2 \cdot \sqrt{7})

k_{1} = - (3 + 2 \cdot \sqrt{7})

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (3 + 2 \cdot \sqrt{7})

- 3 - 2 \cdot \sqrt{7}

k_{1} = - 3 - 2 \cdot \sqrt{7}

La fórmula de segundo grado da

k_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 6 + \sqrt{112}}{2 \cdot 1}

k_{2} = \frac{- 6 + \sqrt{112}}{2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

112

16

4^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{112}

\sqrt{16 \cdot 7}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{7}

4 \cdot \sqrt{7}

k_{2} = \frac{- 6 + 4 \cdot \sqrt{7}}{2}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{- 6 + 4 \cdot \sqrt{7}}{2}

\frac{2 \cdot (- 3 + 2 \cdot \sqrt{7})}{2}

- 3 + 2 \cdot \sqrt{7}

k_{2} = - 3 + 2 \cdot \sqrt{7}

El trinomio tiene signo opuesto al de a (

1

) entre sus raíces, por lo que es negativo entre ellas; las raíces, donde se anula, están excluidas.

▶Solución encontrada:

k \in] - 2 \cdot \sqrt{7} - 3; 2 \cdot \sqrt{7} - 3 [

2) El valor numérico de:

k \in] - 2 \cdot \sqrt{7} - 3; 2 \cdot \sqrt{7} - 3 [

es:

k \in] - 2 \cdot \approx 2,6458 - 3; 2 \cdot \approx 2,6458 - 3 [

k \in] - \approx 5,2915 - 3; \approx 5,2915 - 3 [

▷

k \in] \approx -8,2915; \approx 2,2915 [