12x^2+20x+3=0 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

12 x^{2} + 20 x + 3 = 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 12

b = 20

c = 3

Δ = 20^{2} - 4 \cdot 12 \cdot 3

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

20^{2}

20 \cdot 20

400

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 12

4 \cdot (10 + 2)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 2

40 + 8

48

Δ = 400 - 48 \cdot 3

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

48 \cdot 3

(40 + 8) \cdot 3

40 \cdot 3 + 8 \cdot 3

120 + 24

144

Δ = 400 - 144

ⓘ Partimos de

400

y retrocedemos

144

en la recta numérica:

400 - 144

256

Δ = 256

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 20 - \sqrt{256}}{2 \cdot 12}

x_{1} = \frac{- 20 - \sqrt{256}}{2 \cdot 12}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{256}

16

ya que

16^{2}

256

ⅰ

2 \cdot 12

2 \cdot (10 + 2)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 2

20 + 4

24

x_{1} = \frac{- 20 - 16}{24}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 20 - 16

-36

x_{1} = - \frac{36}{24}

Simplificamos la fracción

\frac{36}{24}

por el factor común

12

para obtener la nueva fracción:

\frac{3}{2}

x_{1} = - \frac{3}{2}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 20 + \sqrt{256}}{2 \cdot 12}

x_{2} = \frac{- 20 + \sqrt{256}}{2 \cdot 12}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{256}

16

ya que

16^{2}

256

ⅰ

2 \cdot 12

2 \cdot (10 + 2)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 2

20 + 4

24

x_{2} = \frac{- 20 + 16}{24}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 20 + 16

-4

x_{2} = - \frac{4}{24}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

4

, su máximo común divisor:

- \frac{4}{24}

- \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4}

- \frac{1}{6}

x_{2} = - \frac{1}{6}

▶Soluciones encontradas:

x = {- \frac{3}{2}; - \frac{1}{6}}

2) El valor numérico de:

x = {- \frac{3}{2}; - \frac{1}{6}}

vale:

▷

x = {-1,5; \approx -0,1667}