15x^2+2x-10=0 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

15 x^{2} + 2 x - 10 = 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 15

b = 2

c = -10

Δ = 2^{2} - 4 \cdot 15 \cdot (-10)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 15

4 \cdot (10 + 5)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 5

40 + 20

60

■Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 60 \cdot (-10)

60 \cdot 10

Δ = 4 + 60 \cdot 10

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

60 \cdot 10

600

Δ = 4 + 600

ⓘ Partimos de

4

y avanzamos

600

en la recta numérica:

4 + 600

604

Δ = 604

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 2 - \sqrt{604}}{2 \cdot 15}

x_{1} = \frac{- 2 - \sqrt{604}}{2 \cdot 15}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

604

4

2^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{604}

\sqrt{4 \cdot 151}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{151}

2 \cdot \sqrt{151}

■Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 2 - 2 \cdot \sqrt{151}

- (2 + 2 \cdot \sqrt{151})

ⅰ

2 \cdot 15

2 \cdot (10 + 5)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 5

20 + 10

30

x_{1} = - \frac{2 + 2 \cdot \sqrt{151}}{30}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

- \frac{2 + 2 \cdot \sqrt{151}}{30}

- \frac{1 + \sqrt{151}}{15}

x_{1} = - \frac{1 + \sqrt{151}}{15}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 2 + \sqrt{604}}{2 \cdot 15}

x_{2} = \frac{- 2 + \sqrt{604}}{2 \cdot 15}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

604

4

2^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{604}

\sqrt{4 \cdot 151}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{151}

2 \cdot \sqrt{151}

ⅰ

2 \cdot 15

2 \cdot (10 + 5)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 5

20 + 10

30

x_{2} = \frac{- 2 + 2 \cdot \sqrt{151}}{30}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{- 2 + 2 \cdot \sqrt{151}}{30}

\frac{- 1 + \sqrt{151}}{15}

x_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{151}}{15}

▶Soluciones encontradas:

x = {- \frac{1 + \sqrt{151}}{15}; \frac{\sqrt{151} - 1}{15}}

2) El valor numérico de:

x = {- \frac{1 + \sqrt{151}}{15}; \frac{\sqrt{151} - 1}{15}}

es:

x = {\approx - \frac{1 + 12,2882}{15}; \approx \frac{12,2882 - 1}{15}}

x = {\approx - \frac{13,2882}{15}; \approx \frac{11,2882}{15}}

▷

x = {\approx -0,8859; \approx 0,7525}