2/3 |x+5|-5/3 =-1 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

\frac{2}{3 \cdot | x + 5 |} - \frac{5}{3} = -1

Multiplicamos ambos miembros por

3 \cdot | x + 5 |

, no nulo para que las fracciones estén definidas

\frac{2}{3 \cdot | x + 5 |} \cdot 3 \cdot | x + 5 | - \frac{5}{3} \cdot 3 \cdot | x + 5 | = -1 \cdot 3 \cdot | x + 5 |

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{2}{3 \cdot | x + 5 |} \cdot 3 \cdot | x + 5 |

\frac{2 \cdot 3 \cdot | x + 5 |}{3 \cdot | x + 5 |}

\frac{6 \cdot | x + 5 |}{3 \cdot | x + 5 |}

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

\frac{5}{3} \cdot 3

5

■Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

-1 \cdot 3 \cdot | x + 5 |

-3 \cdot | x + 5 |

\frac{6 \cdot | x + 5 |}{3 \cdot | x + 5 |} - 5 \cdot | x + 5 | = -3 \cdot | x + 5 |

ⓘ El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común:

\frac{6 \cdot | x + 5 |}{3 \cdot | x + 5 |}

\frac{6 \cdot | 1 |}{3 \cdot | 1 |}

\frac{6 \cdot | 1 |}{3 \cdot | 1 |} - 5 \cdot | x + 5 | = - 3 \cdot | x + 5 |

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{6 \cdot | 1 |}{3 \cdot | 1 |}

\frac{2 \cdot | 1 |}{| 1 |}

\frac{2 \cdot | 1 |}{| 1 |} - 5 \cdot | x + 5 | = - 3 \cdot | x + 5 |

\frac{2 \cdot 1}{1} - 5 \cdot | x + 5 | = - 3 \cdot | x + 5 |

2 - 5 \cdot | x + 5 | = - 3 \cdot | x + 5 |

Los argumentos de los valores absolutos se anulan en

-5

. Dividimos ℝ en esos puntos y resolvemos en cada intervalo

] -∞; -5]

x + 5 \leq 0

, por lo que

| x + 5 | = - (x + 5)

;

x + 5 \leq 0

, por lo que

| x + 5 | = - (x + 5)

] -∞; -5]

, la ecuación pasa a ser

2 - 5 \cdot (- (x + 5)) = - 3 \cdot (- (x + 5))

2) Resolvamos en

ℝ

2 - 5 \cdot (- (x + 5)) = - 3 \cdot (- (x + 5))

ⓘ Extraemos los signos menos: un número par de signos menos se cancela y un número impar deja un signo menos:

- 5 \cdot (- (x + 5))

5 \cdot (x + 5)

- 3 \cdot (- (x + 5))

3 \cdot (x + 5)

2 + 5 \cdot (x + 5) = 3 \cdot (x + 5)

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

5 \cdot (x + 5)

5 x + 25

3 \cdot (x + 5)

3 x + 15

2 + 5 x + 25 = 3 x + 15

ⓘ Partimos de

2

y avanzamos

25

en la recta numérica:

2 + 25

27

27 + 5 x = 3 x + 15

ⓘ Restamos

27

a ambos miembros■Partimos de

15

y retrocedemos

27

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

15 - 27

-12

5 x = 3 x - 12

ⓘ Restamos

3 x

a ambos miembros

5 x - 3 x = -12

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

5 x - 3 x

2 x

2 x = -12

ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

x = - \frac{12}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{12}{2}

-6

Candidatos, sujetos al dominio:

x = -6

Como

-6 \leq -5

, podemos conservar la solución

-6

[-5; +∞ [

x + 5 \geq 0

, por lo que

| x + 5 | = x + 5

;

x + 5 \geq 0

, por lo que

| x + 5 | = x + 5

[-5; +∞ [

, la ecuación pasa a ser

2 - 5 \cdot (x + 5) = - 3 \cdot (x + 5)

3) Resolvamos en

ℝ

2 - 5 \cdot (x + 5) = - 3 \cdot (x + 5)

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- 5 \cdot (x + 5)

- (5 x + 25)

- 3 \cdot (x + 5)

- (3 x + 15)

2 - (5 x + 25) = - (3 x + 15)

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (5 x + 25)

- 5 x - 25

- (3 x + 15)

- 3 x - 15

2 - 5 x - 25 = - 3 x - 15

ⓘ Partimos de

2

y retrocedemos

25

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

2 - 25

-23

- 23 - 5 x = - 3 x - 15

ⓘ Agrupamos los términos con

x

a la derecha y los demás a la izquierda

- 23 + 15 = - 3 x + 5 x

ⓘ Partimos de

-23

y avanzamos

15

en la recta numérica, acercándonos al cero:

- 23 + 15

-8

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- 3 x + 5 x

2 x

-8 = 2 x

ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

x = - \frac{8}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{8}{2}

-4

Candidatos, sujetos al dominio:

x = -4

Como

-4 \geq -5

, podemos conservar la solución

-4

Candidatos, sujetos al dominio:

x = {-6; -4}

4) Busquemos el dominio de

\frac{2}{3 \cdot | x + 5 |} - \frac{5}{3} = -1

Para que la expresión

\frac{2}{3 \cdot | x + 5 |}

esté definida, debe cumplirse:

3 \cdot | x + 5 | \neq 0

Simplificamos la expresión por

3

Resolvamos en

ℝ

| x + 5 | \neq 0

Resolvamos en

ℝ

x + 5 \neq 0

ⓘ Restamos

5

a ambos miembros

Restricciones del dominio:

x \neq -5

▶Solución:

x = {-6; -4}