2-(z-2)^2=z^2 — solución paso a paso

Resolvamos en

ℝ

2 - {(z - 2)}^{2} = z^{2}

2 - {(z - 2)}^{2} - z^{2} = 0

ⓘ Elevar una suma a una potencia entera estrictamente positiva consiste en multiplicarla por sí misma tantas veces como indica el exponente:

{(z - 2)}^{2}

(z - 2) \cdot (z - 2)

2 - (z - 2) \cdot (z - 2) - z^{2} = 0

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- (z - 2) \cdot (z - 2)

- (z \cdot z

+ z \cdot (-2)

- 2 z

- 2 \cdot (-2))

2 - (z \cdot z

+ z \cdot (-2)

- 2 z

- 2 \cdot (-2)) - z^{2} = 0

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (z \cdot z

+ z \cdot (-2)

- 2 z

- 2 \cdot (-2))

- z \cdot z

- z \cdot (-2)

+ 2 z

+ 2 \cdot (-2)

2

- z \cdot z

- z \cdot (-2)

+ 2 z

+ 2 \cdot (-2)

- z^{2} = 0

ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

z \cdot z

z^{2}

■Dos signos menos se cancelan:

- z \cdot (-2)

2 z

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

2 \cdot (-2)

-4

2

- z^{2}

+ 2 z

+ 2 z

- 4

- z^{2} = 0

ⓘ Partimos de

2

y retrocedemos

4

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

2 - 4

-2

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

2 z + 2 z

4 z

- z^{2} - z^{2}

-2 z^{2}

- 2 - 2 z^{2} + 4 z = 0

Como

-2 \neq 0

, dividimos ambos miembros por

-2

1 + z^{2} - 2 z = 0

Dada la forma cuadrática

a z^{2} + b z + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -2

c = 1

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

Δ = 4 - 4

ⓘ Partimos de

4

y retrocedemos

4

en la recta numérica, hasta el cero:

4 - 4

0

Δ = 0

Como

Δ = 0

, la ecuación tiene una raíz:

La fórmula de segundo grado da

z_{0}

- \frac{b}{2 a}

\frac{- (-2)}{2 \cdot 1}

z_{0} = \frac{2}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{2}{2}

1

z_{0} = 1

▶Solución obtenida:

z = 1