2*5^x = 3^(2x) — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

2 \cdot 5^{x} = 3^{2 x}

En una potencia de una potencia se multiplican los exponentes: para tener el mismo exponente en ambos miembros, escribimos

3^{2 x}

{(3^{2})}^{x}

9^{x}

2 \cdot 5^{x} = 9^{x}

ⓘ Dividimos ambos miembros por

5^{x}

, estrictamente positivo; el cociente de dos potencias de igual exponente es la potencia del cociente:

\frac{2 \cdot 5^{x}}{5^{x}} = \frac{9^{x}}{5^{x}}

, es decir,

2 = {(\frac{9}{5})}^{x}

{(\frac{9}{5})}^{x} = 2

Podemos aplicar la función ln a ambos miembros:

\ln ({(\frac{9}{5})}^{x}) = \ln (2)

ⓘ En el dominio real de la expresión inicial, la base es estrictamente positiva: el logaritmo de la potencia es el exponente por el logaritmo de la base:

\ln ({(\frac{9}{5})}^{x})

x \cdot \ln (\frac{9}{5})

x \cdot \ln (\frac{9}{5}) = \ln (2)

ⓘ Dividimos ambos miembros por

\ln (\frac{9}{5})

▶Solución obtenida:

x = \frac{\ln (2)}{\ln (\frac{9}{5})}

2) El valor numérico de:

x = \frac{\ln (2)}{\ln (\frac{9}{5})}

vale:

x = \frac{\approx 0,6931}{\ln (1,8)}

x = \frac{\approx 0,6931}{\approx 0,5878}

▷

x = \approx 1,1792