2^2+5x<-x^2+1 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

2^{2} + 5 x < - x^{2} + 1

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

4 + 5 x < - x^{2} + 1

4

+ 5 x

+ x^{2}

- 1 < 0

ⓘ Partimos de

4

y retrocedemos

1

en la recta numérica:

4 - 1

3

3 + 5 x + x^{2} < 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = 5

c = 3

Δ = 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

5^{2}

5 \cdot 5

25

Δ = 25 - 4 \cdot 3

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 3

12

Δ = 25 - 12

ⓘ Partimos de

25

y retrocedemos

12

en la recta numérica:

25 - 12

13

Δ = 13

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 5 - \sqrt{13}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 5 - \sqrt{13}}{2}

ⓘ Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 5 - \sqrt{13}

- (5 + \sqrt{13})

x_{1} = - \frac{5 + \sqrt{13}}{2}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 5 + \sqrt{13}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 5 + \sqrt{13}}{2}

El trinomio tiene signo opuesto al de a (

1

) entre sus raíces, por lo que es negativo entre ellas; las raíces, donde se anula, están excluidas.

▶Solución obtenida:

x \in] - \frac{5 + \sqrt{13}}{2}; \frac{\sqrt{13} - 5}{2} [

2) El valor numérico de:

x \in] - \frac{5 + \sqrt{13}}{2}; \frac{\sqrt{13} - 5}{2} [

vale:

x \in] - \frac{5 + \approx 3,6056}{2}; \frac{\approx 3,6056 - 5}{2} [

x \in] - \frac{\approx 8,6056}{2}; - \frac{\approx 1,3944}{2} [

▷

x \in] \approx -4,3028; \approx -0,6972 [