2v^2+v-5=(v+1)^2 — solución paso a paso

Resolvamos en

ℝ

2 v^{2} + v - 5 = {(v + 1)}^{2}

2 v^{2}

+ v

- 5

- {(v + 1)}^{2} = 0

ⓘ Elevar una suma a una potencia entera estrictamente positiva consiste en multiplicarla por sí misma tantas veces como indica el exponente:

{(v + 1)}^{2}

(v + 1) \cdot (v + 1)

2 v^{2}

+ v

- 5

- (v + 1) \cdot (v + 1) = 0

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- (v + 1) \cdot (v + 1)

- (v \cdot v

+ v \cdot 1

+ 1 \cdot v

+ 1 \cdot 1)

2 v^{2}

+ v

- 5

- (v \cdot v

+ v \cdot 1

+ 1 \cdot v

+ 1 \cdot 1) = 0

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (v \cdot v

+ v \cdot 1

+ 1 \cdot v

+ 1 \cdot 1)

- v \cdot v

- v \cdot 1

- 1 \cdot v

- 1 \cdot 1

2 v^{2}

+ v

- 5

- v \cdot v

- v \cdot 1

- 1 \cdot v

- 1 \cdot 1 = 0

ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

v \cdot v

v^{2}

■Multiplicar por 1 no cambia nada:

1 \cdot v

v

2 v^{2}

+ v

- 5

- v^{2}

- v

- v

- 1 = 0

ⓘ Partimos de

-5

y retrocedemos otros

1

en la recta numérica, alejándonos del cero:

- 5 - 1

-6

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

2 v^{2} - v^{2}

v^{2}

v

- 6

- v

- v

- v - 6

v^{2} - v - 6 = 0

Dada la forma cuadrática

a v^{2} + b v + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -1

c = -6

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

Δ = 1 - 4 \cdot (-6)

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-6)

24

Δ = 1 + 24

ⓘ Partimos de

1

y avanzamos

24

en la recta numérica:

1 + 24

25

Δ = 25

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

v_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1}

v_{1} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{25}

5

ya que

5^{2}

25

v_{1} = \frac{1 - 5}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 - 5

-4

v_{1} = - \frac{4}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{4}{2}

-2

v_{1} = -2