2x^2-4x=1 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

2 x^{2} - 4 x = 1

2 x^{2} - 4 x - 1 = 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 2

b = -4

c = -1

Δ = {(-4)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-1)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-4)}^{2}

(-4) \cdot (-4)

16

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 2

8

■Multiplicar por -1 da el opuesto:

- 8 \cdot (-1)

8

Δ = 16 + 8

ⓘ Partimos de

16

y avanzamos

8

en la recta numérica:

16 + 8

24

Δ = 24

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) - \sqrt{24}}{2 \cdot 2}

x_{1} = \frac{4 - \sqrt{24}}{2 \cdot 2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

24

4

2^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{24}

\sqrt{4 \cdot 6}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{6}

2 \cdot \sqrt{6}

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{1} = \frac{4 - 2 \cdot \sqrt{6}}{4}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{4 - 2 \cdot \sqrt{6}}{4}

\frac{2 - \sqrt{6}}{2}

x_{1} = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) + \sqrt{24}}{2 \cdot 2}

x_{2} = \frac{4 + \sqrt{24}}{2 \cdot 2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

24

4

2^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{24}

\sqrt{4 \cdot 6}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{6}

2 \cdot \sqrt{6}

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{2} = \frac{4 + 2 \cdot \sqrt{6}}{4}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{4 + 2 \cdot \sqrt{6}}{4}

\frac{2 + \sqrt{6}}{2}

x_{2} = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}

▶Soluciones encontradas:

x = {\frac{2 - \sqrt{6}}{2}; \frac{2 + \sqrt{6}}{2}}

2) El valor numérico de:

x = {\frac{2 - \sqrt{6}}{2}; \frac{2 + \sqrt{6}}{2}}

vale:

x = {\approx \frac{2 - 2,4495}{2}; \approx \frac{2 + 2,4495}{2}}

x = {\approx - \frac{0,4495}{2}; \approx \frac{4,4495}{2}}

▷

x = {\approx -0,2247; \approx 2,2247}