2x^2-x-3<0 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

2 x^{2} - x - 3 < 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 2

b = -1

c = -3

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-3)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 2

8

■Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 8 \cdot (-3)

8 \cdot 3

Δ = 1 + 8 \cdot 3

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

8 \cdot 3

24

Δ = 1 + 24

ⓘ Partimos de

1

y avanzamos

24

en la recta numérica:

1 + 24

25

Δ = 25

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{25}

5

ya que

5^{2}

25

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{1} = \frac{1 - 5}{4}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 - 5

-4

x_{1} = - \frac{4}{4}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

4

, su máximo común divisor:

- \frac{4}{4}

-1

x_{1} = -1

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{25}

5

ya que

5^{2}

25

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{2} = \frac{1 + 5}{4}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 + 5

6

x_{2} = \frac{6}{4}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{6}{4}

\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}

\frac{3}{2}

x_{2} = \frac{3}{2}

El trinomio tiene signo opuesto al de a (

2

) entre sus raíces, por lo que es negativo entre ellas; las raíces, donde se anula, están excluidas.

▶Solución encontrada:

x \in] -1; \frac{3}{2} [

2) El valor numérico de:

x \in] -1; \frac{3}{2} [

vale:

▷

x \in] -1; 1,5 [