3(x+4)^2+15(x+4)-18=0 — solución paso a paso

Resolvamos en

ℝ

3 \cdot {(x + 4)}^{2} + 15 \cdot (x + 4) - 18 = 0

ⓘ Elevar una suma a una potencia entera estrictamente positiva consiste en multiplicarla por sí misma tantas veces como indica el exponente:

{(x + 4)}^{2}

(x + 4) \cdot (x + 4)

■Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

15 \cdot (x + 4)

15 x + 60

3 \cdot (x + 4) \cdot (x + 4)

+ 15 x

+ 60

- 18 = 0

ⓘ Partimos de

60

y retrocedemos

18

en la recta numérica:

60 - 18

42

3 \cdot (x + 4) \cdot (x + 4) + 15 x + 42 = 0

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

3 \cdot (x + 4)

3 x + 12

(3 x + 12) \cdot (x + 4) + 15 x + 42 = 0

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

(3 x + 12) \cdot (x + 4)

3 \cdot x \cdot x

+ 3 x \cdot 4

+ 12 x

+ 12 \cdot 4

3 \cdot x \cdot x

+ 3 x \cdot 4

+ 12 x

+ 12 \cdot 4

+ 15 x

+ 42 = 0

ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

x \cdot x

x^{2}

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \cdot 4

12

12 \cdot 4

(10 + 2) \cdot 4

10 \cdot 4 + 2 \cdot 4

40 + 8

48

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

12 x + 15 x

27 x

3 x^{2}

+ 12 x

+ 27 x

+ 48

+ 42 = 0

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

12 x + 27 x

39 x

■Partimos de

48

y avanzamos

42

en la recta numérica:

48 + 42

90

3 x^{2} + 39 x + 90 = 0

Como

3 \neq 0

, dividimos ambos miembros por

3

x^{2} + 13 x + 30 = 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = 13

c = 30

Δ = 13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

13^{2}

13 \cdot 13

169

Δ = 169 - 4 \cdot 30

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 30

120

Δ = 169 - 120

ⓘ Partimos de

169

y retrocedemos

120

en la recta numérica:

169 - 120

49

Δ = 49

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 13 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 13 - \sqrt{49}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{49}

7

ya que

7^{2}

49

x_{1} = \frac{- 13 - 7}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 13 - 7

-20

x_{1} = - \frac{20}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{20}{2}

-10

x_{1} = -10

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 13 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 13 + \sqrt{49}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{49}

7

ya que

7^{2}

49

x_{2} = \frac{- 13 + 7}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 13 + 7

-6

x_{2} = - \frac{6}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{6}{2}

-3

x_{2} = -3

▶Soluciones obtenidas:

x = {-10; -3}