3/(|5-2x|)<2 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

\frac{3}{| 5 - 2 x |} < 2

2) Sumemos las fracciones:

\frac{3}{| 5 - 2 x |} - 2 < 0

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{3}{| 5 - 2 x |} - 2

\frac{3 - 2 \cdot | 5 - 2 x |}{| 5 - 2 x |}

\frac{3 - 2 \cdot | 5 - 2 x |}{| 5 - 2 x |} < 0

Estudiamos el signo del numerador

⇥2.1) Estudiemos el signo de

3 - 2 \cdot | 5 - 2 x |

resolviendo en

ℝ

3 - 2 \cdot | 5 - 2 x | < 0

⇥Dividimos ambos miembros por

-2

, que es negativo, por lo que invertimos el sentido de la desigualdad

⇥

| A | > B

implica:

A > B

A < - B

⇥2.2) Resolvamos en

ℝ

5 - 2 x > \frac{3}{2}

⇥ⓘ Agrupamos los términos con

x

a la derecha y los demás a la izquierda

⇥

5 - \frac{3}{2} > 2 x

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

5 - \frac{3}{2}

\frac{2 \cdot 5 - 3}{2}

⇥

\frac{2 \cdot 5 - 3}{2} > 2 x

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

2 \cdot 5

10

⇥

\frac{10 - 3}{2} > 2 x

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

10 - 3

7

⇥

\frac{7}{2} > 2 x

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

⇥

x < \frac{\frac{7}{2}}{2}

⇥ⓘ Dividir una fracción por

2

equivale a multiplicar su denominador por

2

\frac{\frac{7}{2}}{2}

\frac{7}{2 \cdot 2}

⇥

x < \frac{7}{2 \cdot 2}

⇥ⅰ

2 \cdot 2

4

⇥Candidatos, sujetos al dominio:

x < \frac{7}{4}

⇥2.3) Resolvamos en

ℝ

5 - 2 x < - \frac{3}{2}

⇥ⓘ Agrupamos los términos con

x

a la derecha y los demás a la izquierda

⇥

5 + \frac{3}{2} < 2 x

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

5 + \frac{3}{2}

\frac{2 \cdot 5 + 3}{2}

⇥

\frac{2 \cdot 5 + 3}{2} < 2 x

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

2 \cdot 5

10

⇥

\frac{10 + 3}{2} < 2 x

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

10 + 3

13

⇥

\frac{13}{2} < 2 x

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

⇥

x > \frac{\frac{13}{2}}{2}

⇥ⓘ Dividir una fracción por

2

equivale a multiplicar su denominador por

2

\frac{\frac{13}{2}}{2}

\frac{13}{2 \cdot 2}

⇥

x > \frac{13}{2 \cdot 2}

⇥ⅰ

2 \cdot 2

4

⇥Candidatos, sujetos al dominio:

x > \frac{13}{4}

⇥Por tanto, la expresión

3 - 2 \cdot | 5 - 2 x |

es negativa en

] \frac{13}{4}; +∞ [

y positiva o nula en los demás puntos

Estudiamos el signo del denominador, que no debe anularse

⇥2.4) Estudiemos el signo de

| 5 - 2 x |

resolviendo en

ℝ

| 5 - 2 x | < 0

⇥Solución:

x \in \emptyset

⇥Por tanto, la expresión

| 5 - 2 x |

siempre es positiva o nula

3) Construyamos la tabla de signos:

x	$-∞$		$\frac{7}{4}$		$\frac{13}{4}$		$+∞$
$3 - 2 \cdot \| 5 - 2 x \|$		-	0	+	0	-
$\| 5 - 2 x \|$		+		+		+
$\frac{3}{\| 5 - 2 x \|} - 2$		-	0	+	0	-

Candidatos, sujetos al dominio:

x \in] -∞; \frac{7}{4} [\cup] \frac{13}{4}; +∞ [

4) Busquemos el dominio de

\frac{3}{| 5 - 2 x |} < 2

Para que la expresión

\frac{3}{| 5 - 2 x |}

esté definida, debe cumplirse:

| 5 - 2 x | \neq 0

5) Resolvamos en

ℝ

5 - 2 x \neq 0

ⓘ Sumamos

2 x

a ambos miembros

5 \neq 2 x

ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

Restricciones del dominio:

x \neq \frac{5}{2}

▶Solución:

x \in] -∞; \frac{7}{4} [\cup] \frac{13}{4}; +∞ [

6) El valor numérico de:

x \in] -∞; \frac{7}{4} [\cup] \frac{13}{4}; +∞ [

es:

▷

x \in] -∞; 1,75 [\cup] 3,25; +∞ [