3/(x+2)> 3/(x-5) — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

\frac{3}{x + 2} > \frac{3}{x - 5}

2) Sumemos las fracciones:

\frac{3}{x + 2} - \frac{3}{x - 5} > 0

ⓘ El signo menos de la fracción pasa al numerador o al denominador y cambia el signo de cada uno de sus términos:

- \frac{3}{x - 5}

\frac{3}{- x + 5}

■Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{3}{x + 2} + \frac{3}{- x + 5}

\frac{3 \cdot (- x + 5) + 3 \cdot (x + 2)}{(x + 2) \cdot (- x + 5)}

\frac{3 \cdot (- x + 5) + 3 \cdot (x + 2)}{(x + 2) \cdot (- x + 5)} > 0

Estudiamos el signo del numerador

⇥2.1) Estudiemos el signo de

3 \cdot (- x + 5) + 3 \cdot (x + 2)

resolviendo en

ℝ

3 \cdot (- x + 5) + 3 \cdot (x + 2) > 0

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

3 \cdot (- x + 5)

3 \cdot (- x) + 15

3 \cdot (x + 2)

3 x + 6

⇥

3 \cdot (- x)

+ 15

+ 3 x

+ 6 > 0

⇥ⓘ Colocamos el signo menos delante del producto:

3 \cdot (- x)

- 3 x

■Partimos de

15

y avanzamos

6

en la recta numérica:

15 + 6

21

⇥

- 3 x + 21 + 3 x > 0

⇥ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- 3 x + 3 x

0

⇥

0 + 21 > 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 21

21

⇥

21 > 0

⇥La relación simplificada siempre se cumple; aún hay que respetar el dominio de la expresión inicial

⇥Por tanto, la expresión

3 \cdot (- x + 5) + 3 \cdot (x + 2)

siempre es positiva

Estudiamos el signo del denominador, que no debe anularse

⇥2.2) Resolvamos en

ℝ

(x + 2) \cdot (- x + 5) > 0

⇥Estudiamos el signo de cada factor del producto

⇥⇥La expresión

x + 2

se anula en

x = -2

(valor excluido) y es negativa antes y positiva después

⇥⇥La expresión

- x + 5

se anula en:

⇥⇥

x = 5

⇥⇥Como su coeficiente de

x

-1

, es negativo, es positiva antes y negativa después de

5

(valor excluido)

3) Construyamos la tabla de signos:

x	$-∞$		$-2$		$5$		$+∞$
$3 \cdot (- x + 5) + 3 \cdot (x + 2)$		+		+		+
$x + 2$		-	0	+		+
$- x + 5$		+		+	0	-
$\frac{3}{x + 2} - \frac{3}{x - 5}$		-	❌	+	❌	-

Candidatos, sujetos al dominio:

x \in] -2; 5 [

4) Busquemos el dominio de

\frac{3}{x + 2} > \frac{3}{x - 5}

Para que la expresión

\frac{3}{x + 2}

esté definida, debe cumplirse:

x + 2 \neq 0

Para que la expresión

\frac{3}{x - 5}

esté definida, debe cumplirse:

x - 5 \neq 0

5) Resolvamos en

ℝ

x + 2 \neq 0

ⓘ Restamos

2

a ambos miembros

Solución obtenida:

x \neq -2

6) Resolvamos en

ℝ

x - 5 \neq 0

ⓘ Sumamos

5

a ambos miembros

Solución obtenida:

x \neq 5

Construyamos la tabla de las distintas soluciones para encontrar la solución global:

x	$-∞$		$-2$		$5$		$+∞$
$x + 2 \neq 0$		✅	❌	✅	✅	✅
$x - 5 \neq 0$		✅	✅	✅	❌	✅
Dominio de definición:		✅	❌	✅	❌	✅

Restricciones del dominio:

x \in ℝ \ {-2; 5}

▶Solución:

x \in] -2; 5 [