30x^2+21x+3=0 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

30 x^{2} + 21 x + 3 = 0

Como

3 \neq 0

, dividimos ambos miembros por

3

10 x^{2} + 7 x + 1 = 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 10

b = 7

c = 1

Δ = 7^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 1

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

7^{2}

7 \cdot 7

49

Δ = 49 - 4 \cdot 10

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 10

40

Δ = 49 - 40

ⓘ Partimos de

49

y retrocedemos

40

en la recta numérica:

49 - 40

9

Δ = 9

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 10}

x_{1} = \frac{- 7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 10}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{9}

3

ya que

3^{2}

9

ⅰ

2 \cdot 10

20

x_{1} = \frac{- 7 - 3}{20}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 7 - 3

-10

x_{1} = - \frac{10}{20}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

10

, su máximo común divisor:

- \frac{10}{20}

- \frac{1 \cdot 10}{2 \cdot 10}

- \frac{1}{2}

x_{1} = - \frac{1}{2}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 10}

x_{2} = \frac{- 7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 10}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{9}

3

ya que

3^{2}

9

ⅰ

2 \cdot 10

20

x_{2} = \frac{- 7 + 3}{20}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 7 + 3

-4

x_{2} = - \frac{4}{20}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

4

, su máximo común divisor:

- \frac{4}{20}

- \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4}

- \frac{1}{5}

x_{2} = - \frac{1}{5}

▶Soluciones obtenidas:

x = {- \frac{1}{2}; - \frac{1}{5}}

2) El valor numérico de:

x = {- \frac{1}{2}; - \frac{1}{5}}

vale:

▷

x = {-0,5; -0,2}