3x^2=2x+3 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

3 x^{2} = 2 x + 3

3 x^{2} - 2 x - 3 = 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 3

b = -2

c = -3

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-3)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 3

12

■Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 12 \cdot (-3)

12 \cdot 3

Δ = 4 + 12 \cdot 3

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

12 \cdot 3

(10 + 2) \cdot 3

10 \cdot 3 + 2 \cdot 3

30 + 6

36

Δ = 4 + 36

ⓘ Partimos de

4

y avanzamos

36

en la recta numérica:

4 + 36

40

Δ = 40

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{40}}{2 \cdot 3}

x_{1} = \frac{2 - \sqrt{40}}{2 \cdot 3}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

40

4

2^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{40}

\sqrt{4 \cdot 10}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{10}

2 \cdot \sqrt{10}

ⅰ

2 \cdot 3

6

x_{1} = \frac{2 - 2 \cdot \sqrt{10}}{6}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{2 - 2 \cdot \sqrt{10}}{6}

\frac{1 - \sqrt{10}}{3}

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{10}}{3}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) + \sqrt{40}}{2 \cdot 3}

x_{2} = \frac{2 + \sqrt{40}}{2 \cdot 3}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

40

4

2^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{40}

\sqrt{4 \cdot 10}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{10}

2 \cdot \sqrt{10}

ⅰ

2 \cdot 3

6

x_{2} = \frac{2 + 2 \cdot \sqrt{10}}{6}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{2 + 2 \cdot \sqrt{10}}{6}

\frac{1 + \sqrt{10}}{3}

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{10}}{3}

▶Soluciones encontradas:

x = {\frac{1 - \sqrt{10}}{3}; \frac{1 + \sqrt{10}}{3}}

2) El valor numérico de:

x = {\frac{1 - \sqrt{10}}{3}; \frac{1 + \sqrt{10}}{3}}

vale:

x = {\approx \frac{1 - 3,1623}{3}; \approx \frac{1 + 3,1623}{3}}

x = {\approx - \frac{2,1623}{3}; \approx \frac{4,1623}{3}}

▷

x = {\approx -0,7208; \approx 1,3874}