3x^2+10x+2=0 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

3 x^{2} + 10 x + 2 = 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 3

b = 10

c = 2

Δ = 10^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

10^{2}

10 \cdot 10

100

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 3

12

Δ = 100 - 12 \cdot 2

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

12 \cdot 2

(10 + 2) \cdot 2

10 \cdot 2 + 2 \cdot 2

20 + 4

24

Δ = 100 - 24

ⓘ Partimos de

100

y retrocedemos

24

en la recta numérica:

100 - 24

76

Δ = 76

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 10 - \sqrt{76}}{2 \cdot 3}

x_{1} = \frac{- 10 - \sqrt{76}}{2 \cdot 3}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

76

4

2^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{76}

\sqrt{4 \cdot 19}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{19}

2 \cdot \sqrt{19}

■Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 10 - 2 \cdot \sqrt{19}

- (10 + 2 \cdot \sqrt{19})

ⅰ

2 \cdot 3

6

x_{1} = - \frac{10 + 2 \cdot \sqrt{19}}{6}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

- \frac{10 + 2 \cdot \sqrt{19}}{6}

- \frac{5 + \sqrt{19}}{3}

x_{1} = - \frac{5 + \sqrt{19}}{3}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 10 + \sqrt{76}}{2 \cdot 3}

x_{2} = \frac{- 10 + \sqrt{76}}{2 \cdot 3}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

76

4

2^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{76}

\sqrt{4 \cdot 19}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{19}

2 \cdot \sqrt{19}

ⅰ

2 \cdot 3

6

x_{2} = \frac{- 10 + 2 \cdot \sqrt{19}}{6}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{- 10 + 2 \cdot \sqrt{19}}{6}

\frac{- 5 + \sqrt{19}}{3}

x_{2} = \frac{- 5 + \sqrt{19}}{3}

▶Soluciones obtenidas:

x = {- \frac{5 + \sqrt{19}}{3}; \frac{\sqrt{19} - 5}{3}}

2) El valor numérico de:

x = {- \frac{5 + \sqrt{19}}{3}; \frac{\sqrt{19} - 5}{3}}

es:

x = {\approx - \frac{5 + 4,3589}{3}; \approx \frac{4,3589 - 5}{3}}

x = {\approx - \frac{9,3589}{3}; \approx - \frac{0,6411}{3}}

▷

x = {\approx -3,1196; \approx -0,2137}