3x^2+12x+3=0 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

3 x^{2} + 12 x + 3 = 0

Como

3 \neq 0

, dividimos ambos miembros por

3

x^{2} + 4 x + 1 = 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = 4

c = 1

Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

4^{2}

4 \cdot 4

16

Δ = 16 - 4

ⓘ Partimos de

16

y retrocedemos

4

en la recta numérica:

16 - 4

12

Δ = 12

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 4 - \sqrt{12}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 4 - \sqrt{12}}{2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

12

4

2^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{12}

\sqrt{4 \cdot 3}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{3}

2 \cdot \sqrt{3}

■Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 4 - 2 \cdot \sqrt{3}

- (4 + 2 \cdot \sqrt{3})

x_{1} = - \frac{4 + 2 \cdot \sqrt{3}}{2}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

- \frac{4 + 2 \cdot \sqrt{3}}{2}

- \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{2}

- (2 + \sqrt{3})

x_{1} = - (2 + \sqrt{3})

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (2 + \sqrt{3})

- 2 - \sqrt{3}

x_{1} = - 2 - \sqrt{3}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 4 + \sqrt{12}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 4 + \sqrt{12}}{2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

12

4

2^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{12}

\sqrt{4 \cdot 3}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{3}

2 \cdot \sqrt{3}

x_{2} = \frac{- 4 + 2 \cdot \sqrt{3}}{2}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{- 4 + 2 \cdot \sqrt{3}}{2}

\frac{2 \cdot (- 2 + \sqrt{3})}{2}

- 2 + \sqrt{3}

x_{2} = - 2 + \sqrt{3}

▶Soluciones obtenidas:

x = {- \sqrt{3} - 2; \sqrt{3} - 2}

2) El valor numérico de:

x = {- \sqrt{3} - 2; \sqrt{3} - 2}

es:

x = {\approx - 1,7321 - 2; \approx 1,7321 - 2}

▷

x = {\approx -3,7321; \approx -0,2679}