3x^2+8x-4=0 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

3 x^{2} + 8 x - 4 = 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 3

b = 8

c = -4

Δ = 8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-4)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

8^{2}

8 \cdot 8

64

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 3

12

■Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 12 \cdot (-4)

12 \cdot 4

Δ = 64 + 12 \cdot 4

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

12 \cdot 4

(10 + 2) \cdot 4

10 \cdot 4 + 2 \cdot 4

40 + 8

48

Δ = 64 + 48

ⓘ Partimos de

64

y avanzamos

48

en la recta numérica:

64 + 48

112

Δ = 112

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 8 - \sqrt{112}}{2 \cdot 3}

x_{1} = \frac{- 8 - \sqrt{112}}{2 \cdot 3}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

112

16

4^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{112}

\sqrt{16 \cdot 7}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{7}

4 \cdot \sqrt{7}

■Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 8 - 4 \cdot \sqrt{7}

- (8 + 4 \cdot \sqrt{7})

ⅰ

2 \cdot 3

6

x_{1} = - \frac{8 + 4 \cdot \sqrt{7}}{6}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

- \frac{8 + 4 \cdot \sqrt{7}}{6}

- \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{7})}{3}

x_{1} = - \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{7})}{3}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 8 + \sqrt{112}}{2 \cdot 3}

x_{2} = \frac{- 8 + \sqrt{112}}{2 \cdot 3}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

112

16

4^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{112}

\sqrt{16 \cdot 7}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{7}

4 \cdot \sqrt{7}

ⅰ

2 \cdot 3

6

x_{2} = \frac{- 8 + 4 \cdot \sqrt{7}}{6}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{- 8 + 4 \cdot \sqrt{7}}{6}

\frac{2 \cdot (- 2 + \sqrt{7})}{3}

x_{2} = \frac{2 \cdot (- 2 + \sqrt{7})}{3}

▶Soluciones encontradas:

x = {- \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{7})}{3}; \frac{2 \cdot (\sqrt{7} - 2)}{3}}

2) El valor numérico de:

x = {- \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{7})}{3}; \frac{2 \cdot (\sqrt{7} - 2)}{3}}

vale:

x = {\approx - \frac{2 \cdot (2 + 2,6458)}{3}; \approx \frac{2 \cdot (2,6458 - 2)}{3}}

x = {\approx - \frac{2 \cdot 4,6458}{3}; \approx \frac{2 \cdot 0,6458}{3}}

x = {\approx - \frac{9,2915}{3}; \approx \frac{1,2915}{3}}

▷

x = {\approx -3,0972; \approx 0,4305}