4x-2x^2=-32/3 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

4 x - 2 x^{2} = - \frac{32}{3}

Como

-2 \neq 0

, dividimos ambos miembros por

-2

x^{2} - 2 x = \frac{16}{3}

x^{2} - 2 x - \frac{16}{3} = 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -2

c = - \frac{16}{3}

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- \frac{16}{3})

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

Δ = 4 - 4 \cdot (- \frac{16}{3})

ⓘ Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (- \frac{16}{3})

4 \cdot \frac{16}{3}

Δ = 4 + 4 \cdot \frac{16}{3}

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

4 \cdot \frac{16}{3}

\frac{4 \cdot 16}{3}

\frac{64}{3}

Δ = 4 + \frac{64}{3}

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

4 + \frac{64}{3}

\frac{3 \cdot 4 + 64}{3}

Δ = \frac{3 \cdot 4 + 64}{3}

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \cdot 4

12

Δ = \frac{12 + 64}{3}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

12 + 64

76

Δ = \frac{76}{3}

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{\frac{76}{3}}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{2 - \sqrt{\frac{76}{3}}}{2}

ⓘ La raíz de un cociente es el cociente de las raíces,

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

\sqrt{\frac{76}{3}}

\frac{\sqrt{76}}{\sqrt{3}}

x_{1} = \frac{2 - \frac{\sqrt{76}}{\sqrt{3}}}{2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

76

4

2^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{76}

\sqrt{4 \cdot 19}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{19}

2 \cdot \sqrt{19}

■Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

2 - \frac{2 \cdot \sqrt{19}}{\sqrt{3}}

\frac{2 \cdot \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{19}}{\sqrt{3}}

x_{1} = \frac{\frac{2 \cdot \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{19}}{\sqrt{3}}}{2}

ⓘ Dividir una fracción por

2

equivale a multiplicar su denominador por

2

\frac{\frac{2 \cdot \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{19}}{\sqrt{3}}}{2}

\frac{2 \cdot \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot \sqrt{3}}

■Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{2 \cdot \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot \sqrt{3}}

\frac{\sqrt{3} - \sqrt{19}}{\sqrt{3}}

x_{1} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{19}}{\sqrt{3}}

Por convenio, preferimos las raíces cuadradas numéricas en el numerador en lugar del denominador:

ⅰ

\frac{\sqrt{3} - \sqrt{19}}{\sqrt{3}}

\frac{\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{19})}{3}

x_{1} = \frac{\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{19})}{3}

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{19})

3 + \sqrt{3} \cdot (- \sqrt{19})

x_{1} = \frac{3 + \sqrt{3} \cdot (- \sqrt{19})}{3}

ⓘ Colocamos el signo menos delante del producto:

\sqrt{3} \cdot (- \sqrt{19})

- \sqrt{3} \cdot \sqrt{19}

x_{1} = \frac{3 - \sqrt{3} \cdot \sqrt{19}}{3}

ⓘ El producto de dos raíces cuadradas es la raíz cuadrada del producto:

\sqrt{3} \cdot \sqrt{19}

\sqrt{3 \cdot 19}

x_{1} = \frac{3 - \sqrt{3 \cdot 19}}{3}

ⅰ

3 \cdot 19

3 \cdot (10 + 9)

3 \cdot 10 + 3 \cdot 9

30 + 27

57

x_{1} = \frac{3 - \sqrt{57}}{3}