4x^2+7x-2<= 0 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

4 x^{2} + 7 x - 2 \leq 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 4

b = 7

c = -2

Δ = 7^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (-2)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

7^{2}

7 \cdot 7

49

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 4

16

■Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 16 \cdot (-2)

16 \cdot 2

Δ = 49 + 16 \cdot 2

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

16 \cdot 2

(10 + 6) \cdot 2

10 \cdot 2 + 6 \cdot 2

20 + 12

32

Δ = 49 + 32

ⓘ Partimos de

49

y avanzamos

32

en la recta numérica:

49 + 32

81

Δ = 81

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 4}

x_{1} = \frac{- 7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 4}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{81}

9

ya que

9^{2}

81

ⅰ

2 \cdot 4

8

x_{1} = \frac{- 7 - 9}{8}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 7 - 9

-16

x_{1} = - \frac{16}{8}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

8

, su máximo común divisor:

- \frac{16}{8}

-2

x_{1} = -2

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 4}

x_{2} = \frac{- 7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 4}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{81}

9

ya que

9^{2}

81

ⅰ

2 \cdot 4

8

x_{2} = \frac{- 7 + 9}{8}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 7 + 9

2

x_{2} = \frac{2}{8}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{2}{8}

\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2}

\frac{1}{4}

x_{2} = \frac{1}{4}

El trinomio tiene signo opuesto al de a (

4

) entre sus raíces, por lo que es negativo entre ellas; las raíces, donde se anula, están incluidas.

▶Solución obtenida:

x \in [-2; \frac{1}{4}]

2) El valor numérico de:

x \in [-2; \frac{1}{4}]

es:

▷

x \in [-2; 0,25]