5/(2t-1)<2 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

\frac{5}{2 t - 1} < 2

2) Sumemos las fracciones:

\frac{5}{2 t - 1} - 2 < 0

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{5}{2 t - 1} - 2

\frac{5 - 2 \cdot (2 t - 1)}{2 t - 1}

\frac{5 - 2 \cdot (2 t - 1)}{2 t - 1} < 0

Estudiamos el signo del numerador

Estudiemos el signo de

5 - 2 \cdot (2 t - 1)

resolviendo en

ℝ

5 - 2 \cdot (2 t - 1) < 0

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- 2 \cdot (2 t - 1)

- (4 t - 2)

5 - (4 t - 2) < 0

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (4 t - 2)

- 4 t + 2

5 - 4 t + 2 < 0

ⓘ Partimos de

5

y avanzamos

2

en la recta numérica:

5 + 2

7

7 - 4 t < 0

ⓘ Sumamos

4 t

a ambos miembros

7 < 4 t

ⓘ Dividimos ambos miembros por

4

Candidatos, sujetos al dominio:

t > \frac{7}{4}

⇥Por tanto, la expresión

5 - 2 \cdot (2 t - 1)

es negativa en

] \frac{7}{4}; +∞ [

y positiva o nula en los demás puntos

Estudiamos el signo del denominador, que no debe anularse

⇥La expresión

2 t - 1

se anula en:

⇥

t = \frac{1}{2}

⇥Como su coeficiente de

t

2

, es positivo, es negativa antes y positiva después de

\frac{1}{2}

(valor excluido)

3) Construyamos la tabla de signos:

Candidatos, sujetos al dominio:

t \in] -∞; \frac{1}{2} [\cup] \frac{7}{4}; +∞ [

4) Determinemos el dominio de

\frac{5}{2 t - 1} < 2

Para que la expresión

\frac{5}{2 t - 1}

esté definida, debe cumplirse:

2 t - 1 \neq 0

ⓘ Sumamos

1

a ambos miembros

2 t \neq 1

ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

Restricciones del dominio:

t \neq \frac{1}{2}

▶Solución:

t \in] -∞; \frac{1}{2} [\cup] \frac{7}{4}; +∞ [

5) El valor numérico de:

t \in] -∞; \frac{1}{2} [\cup] \frac{7}{4}; +∞ [

es:

▷

t \in] -∞; 0,5 [\cup] 1,75; +∞ [