6/(x-1)-6/x >= 1 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x} \geq 1

2) Sumemos las fracciones:

\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x} - 1 \geq 0

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x}

\frac{6 x - 6 \cdot (x - 1)}{(x - 1) \cdot x}

\frac{6 x - 6 \cdot (x - 1)}{(x - 1) \cdot x} - 1 \geq 0

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{6 x - 6 \cdot (x - 1)}{(x - 1) \cdot x} - 1

\frac{(6 x - 6 \cdot (x - 1)) - 1 \cdot (x - 1) \cdot x}{(x - 1) \cdot x}

\frac{(6 x - 6 \cdot (x - 1)) - 1 \cdot (x - 1) \cdot x}{(x - 1) \cdot x} \geq 0

ⓘ Multiplicar por 1 no cambia nada:

1 \cdot (x - 1) \cdot x

(x - 1) \cdot x

\frac{6 x - 6 \cdot (x - 1) - (x - 1) \cdot x}{(x - 1) \cdot x} \geq 0

Estudiamos el signo del numerador

⇥2.1) Estudiemos el signo de

6 x - 6 \cdot (x - 1) - (x - 1) \cdot x

resolviendo en

ℝ

6 x - 6 \cdot (x - 1) - (x - 1) \cdot x \geq 0

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- 6 \cdot (x - 1)

- (6 x - 6)

- (x - 1) \cdot x

- (x^{2} - x)

⇥

6 x - (6 x - 6) - (x^{2} - x) \geq 0

⇥

6 x

- 6 x

+ 6

- x^{2}

+ x \geq 0

⇥ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

6 x

- 6 x

+ 6

- x^{2}

+ x

x + 6 - x^{2}

⇥

x + 6 - x^{2} \geq 0

⇥Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = -1

b = 1

c = 6

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot (-1) \cdot 6

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

-4 \cdot (-1)

4

⇥

Δ = 1 + 4 \cdot 6

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 6

24

⇥

Δ = 1 + 24

⇥ⓘ Partimos de

1

y avanzamos

24

en la recta numérica:

1 + 24

25

⇥

Δ = 25

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2 \cdot (-1)}

⇥

x_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{25}}{2 \cdot (-1)}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{25}

5

ya que

5^{2}

25

■Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

2 \cdot (-1)

-2

⇥

x_{1} = \frac{- 1 - 5}{-2}

⇥ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{- 1 - 5}{-2}

- (\frac{- 1 - 5}{2})

⇥

x_{1} = - (\frac{- 1 - 5}{2})

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 1 - 5

-6

⇥

x_{1} = - (\frac{-6}{2})

⇥ⓘ Dos signos menos se cancelan:

- (\frac{-6}{2})

\frac{6}{2}

⇥

x_{1} = \frac{6}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{6}{2}

3

⇥

x_{1} = 3

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2 \cdot (-1)}

⇥

x_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{25}}{2 \cdot (-1)}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{25}

5

ya que

5^{2}

25

■Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

2 \cdot (-1)

-2

⇥

x_{2} = \frac{- 1 + 5}{-2}

⇥ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{- 1 + 5}{-2}

- (\frac{- 1 + 5}{2})

⇥

x_{2} = - (\frac{- 1 + 5}{2})

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 1 + 5

4

⇥

x_{2} = - \frac{4}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{4}{2}

-2

⇥

x_{2} = -2

⇥El trinomio tiene signo opuesto al de a (

-1

) entre sus raíces, por lo que es positivo entre ellas; las raíces, donde se anula, están incluidas.

⇥Candidatos, sujetos al dominio:

x \in [-2; 3]

⇥Por tanto, la expresión

6 x - 6 \cdot (x - 1) - (x - 1) \cdot x

es positiva o nula en

[-2; 3]

y negativa en los demás puntos

Estudiamos el signo del denominador, que no debe anularse

⇥2.2) Resolvamos en

ℝ

(x - 1) \cdot x > 0

⇥Estudiamos el signo de cada factor del producto

⇥⇥La expresión

x - 1

se anula en

x = 1

(valor excluido) y es negativa antes y positiva después

⇥⇥La expresión

x

se anula en

x = 0

(valor excluido) y es negativa antes y positiva después

3) Construyamos la tabla de signos:

x	$-∞$		$-2$		$0$		$1$		$3$		$+∞$
$6 x - 6 \cdot (x - 1) - (x - 1) \cdot x$		-	0	+		+		+	0	-
$x - 1$		-		-		-	0	+		+
$x$		-		-	0	+		+		+
$(\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x}) - 1$		-	0	+	❌	-	❌	+	0	-

Candidatos, sujetos al dominio:

x \in [-2; 0 [\cup] 1; 3]

4) Busquemos el dominio de

\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x} \geq 1

Para que la expresión

\frac{6}{x - 1}

esté definida, debe cumplirse:

x - 1 \neq 0

Para que la expresión

- \frac{6}{x}

esté definida, debe cumplirse:

x \neq 0

5) Resolvamos en

ℝ

x - 1 \neq 0

ⓘ Sumamos

1

a ambos miembros

Solución encontrada:

x \neq 1

Construyamos la tabla de las distintas soluciones para encontrar la solución global:

x	$-∞$		$0$		$1$		$+∞$
$x - 1 \neq 0$		✅	✅	✅	❌	✅
$x \neq 0$		✅	❌	✅	✅	✅
Dominio de definición:		✅	❌	✅	❌	✅

Restricciones del dominio:

x \in ℝ \ {0; 1}

▶Solución:

x \in [-2; 0 [\cup] 1; 3]