7g^2-7g-5=0 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

7 g^{2} - 7 g - 5 = 0

Dada la forma cuadrática

a g^{2} + b g + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 7

b = -7

c = -5

Δ = {(-7)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (-5)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-7)}^{2}

(-7) \cdot (-7)

49

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 7

28

■Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 28 \cdot (-5)

28 \cdot 5

Δ = 49 + 28 \cdot 5

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

28 \cdot 5

(20 + 8) \cdot 5

20 \cdot 5 + 8 \cdot 5

100 + 40

140

Δ = 49 + 140

ⓘ Partimos de

49

y avanzamos

140

en la recta numérica:

49 + 140

189

Δ = 189

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

g_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-7) - \sqrt{189}}{2 \cdot 7}

g_{1} = \frac{7 - \sqrt{189}}{2 \cdot 7}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

189

9

3^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{189}

\sqrt{9 \cdot 21}

\sqrt{9} \cdot \sqrt{21}

3 \cdot \sqrt{21}

ⅰ

2 \cdot 7

14

g_{1} = \frac{7 - 3 \cdot \sqrt{21}}{14}

La fórmula de segundo grado da

g_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-7) + \sqrt{189}}{2 \cdot 7}

g_{2} = \frac{7 + \sqrt{189}}{2 \cdot 7}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

189

9

3^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{189}

\sqrt{9 \cdot 21}

\sqrt{9} \cdot \sqrt{21}

3 \cdot \sqrt{21}

ⅰ

2 \cdot 7

14

g_{2} = \frac{7 + 3 \cdot \sqrt{21}}{14}

▶Soluciones obtenidas:

g = {\frac{7 - 3 \cdot \sqrt{21}}{14}; \frac{7 + 3 \cdot \sqrt{21}}{14}}

2) El valor numérico de:

g = {\frac{7 - 3 \cdot \sqrt{21}}{14}; \frac{7 + 3 \cdot \sqrt{21}}{14}}

vale:

g = {\approx \frac{7 - 3 \cdot 4,5826}{14}; \approx \frac{7 + 3 \cdot 4,5826}{14}}

g = {\approx \frac{7 - 13,7477}{14}; \approx \frac{7 + 13,7477}{14}}

g = {\approx - \frac{6,7477}{14}; \approx \frac{20,7477}{14}}

▷

g = {\approx -0,4820; \approx 1,4820}