9x^2-3x-4=0 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

9 x^{2} - 3 x - 4 = 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 9

b = -3

c = -4

Δ = {(-3)}^{2} - 4 \cdot 9 \cdot (-4)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-3)}^{2}

(-3) \cdot (-3)

9

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 9

36

■Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 36 \cdot (-4)

36 \cdot 4

Δ = 9 + 36 \cdot 4

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

36 \cdot 4

(30 + 6) \cdot 4

30 \cdot 4 + 6 \cdot 4

120 + 24

144

Δ = 9 + 144

ⓘ Partimos de

9

y avanzamos

144

en la recta numérica:

9 + 144

153

Δ = 153

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-3) - \sqrt{153}}{2 \cdot 9}

x_{1} = \frac{3 - \sqrt{153}}{2 \cdot 9}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

153

9

3^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{153}

\sqrt{9 \cdot 17}

\sqrt{9} \cdot \sqrt{17}

3 \cdot \sqrt{17}

ⅰ

2 \cdot 9

18

x_{1} = \frac{3 - 3 \cdot \sqrt{17}}{18}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{3 - 3 \cdot \sqrt{17}}{18}

\frac{1 - \sqrt{17}}{6}

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{17}}{6}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-3) + \sqrt{153}}{2 \cdot 9}

x_{2} = \frac{3 + \sqrt{153}}{2 \cdot 9}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

153

9

3^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{153}

\sqrt{9 \cdot 17}

\sqrt{9} \cdot \sqrt{17}

3 \cdot \sqrt{17}

ⅰ

2 \cdot 9

18

x_{2} = \frac{3 + 3 \cdot \sqrt{17}}{18}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{3 + 3 \cdot \sqrt{17}}{18}

\frac{1 + \sqrt{17}}{6}

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{17}}{6}

▶Soluciones obtenidas:

x = {\frac{1 - \sqrt{17}}{6}; \frac{1 + \sqrt{17}}{6}}

2) El valor numérico de:

x = {\frac{1 - \sqrt{17}}{6}; \frac{1 + \sqrt{17}}{6}}

es:

x = {\approx \frac{1 - 4,1231}{6}; \approx \frac{1 + 4,1231}{6}}

x = {\approx - \frac{3,1231}{6}; \approx \frac{5,1231}{6}}

▷

x = {\approx -0,5205; \approx 0,8539}