(\partial)/(\partial x)(4x^{-x^2-y^2-z^2})

⚠ (\partial)/(\partial x)(4x^{-x^2-y^2-z^2}) se interpreta como dif(4x^(-x^2-y^2-z^2),x): utiliza dif(expression, variable) para una derivada respecto a esa variable, utiliza (numerador)/(denominador) para un cociente, utiliza ^(...) para agrupar un exponente, utiliza * para multiplicar

1) Derivamos respecto a

x

; las demás variables (

y

z

) se consideran constantes

Derivemos:

\frac{\partial}{\partial x} (4 x^{- x^{2} - y^{2} - z^{2}})

Para derivar en los intervalos donde

x > 0

, escribimos

x^{- x^{2} - y^{2} - z^{2}}

e^{(- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot \ln (x)}

ⅰ

\frac{\partial}{\partial x} (x^{- x^{2} - y^{2} - z^{2}})

\frac{\partial}{\partial x} ((- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot \ln (x)) \cdot e^{(- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot \ln (x)}

4 \cdot \frac{\partial}{\partial x} ((- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot \ln (x)) \cdot e^{(- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot \ln (x)}

Para

u1

(- x^{2} - y^{2} - z^{2})

v2

\ln (x)

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{\partial}{\partial x} (u1 \cdot v2) = \frac{\partial}{\partial x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{\partial}{\partial x} (v2)

2) Derivemos

u1

\frac{\partial}{\partial x} (- x^{2} - y^{2} - z^{2})

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{\partial}{\partial x} (- x^{2} - y^{2} - z^{2})

\frac{\partial}{\partial x} (- x^{2}) + \frac{\partial}{\partial x} (- y^{2}) + \frac{\partial}{\partial x} (- z^{2})

\frac{\partial}{\partial x} (- x^{2}) + \frac{\partial}{\partial x} (- y^{2}) + \frac{\partial}{\partial x} (- z^{2})

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{\partial}{\partial x} (- x^{2})

- 2 x

■La derivada de una constante es nula:

\frac{\partial}{\partial x} (- y^{2})

0

\frac{\partial}{\partial x} (- z^{2})

0

- 2 x + 0 + 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

- 2 x + 0 + 0

- 2 x

- 2 x

3) Derivemos

v2

\frac{\partial}{\partial x} (\ln (x))

ⓘ La derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{\partial}{\partial x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

\frac{1}{x}

4) Evaluamos la derivada obtenida (

u1 \cdot v2

)':

- 2 x \cdot \ln (x) + (- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot \frac{1}{x}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

(- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot \frac{1}{x}

\frac{(- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot 1}{x}

\frac{- x^{2} - y^{2} - z^{2}}{x}

■Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- x^{2} - y^{2} - z^{2}

- (x^{2} + y^{2} + z^{2})

- 2 x \cdot \ln (x) - \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}

5) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{\partial}{\partial x} ((- x^{2} - y^{2} - z^{2}) \cdot \ln (x))

- 2 x \cdot \ln (x) - \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}

4 \cdot (- 2 x \cdot \ln (x) - \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}) \cdot x^{- x^{2} - y^{2} - z^{2}}

ⓘ Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

4 \cdot (- 2 x \cdot \ln (x) - \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}) \cdot x^{- x^{2} - y^{2} - z^{2}}

\frac{4 \cdot (- 2 x \cdot \ln (x) - \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x})}{x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

\frac{4 \cdot (- 2 x \cdot \ln (x) - \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x})}{x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

ⓘ Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 2 x \cdot \ln (x) - \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}

- (2 x \cdot \ln (x) + \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x})

\frac{4 \cdot (- (2 x \cdot \ln (x) + \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}))}{x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

ⓘ Colocamos el signo menos delante del producto:

4 \cdot (- (2 x \cdot \ln (x) + \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}))

- 4 \cdot (2 x \cdot \ln (x) + \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x})

- \frac{4 \cdot (2 x \cdot \ln (x) + \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x})}{x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

2 x \cdot \ln (x) + \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}

\frac{2 x \cdot \ln (x) \cdot x + (x^{2} + y^{2} + z^{2})}{x}

- \frac{4 \cdot (\frac{2 x \cdot \ln (x) \cdot x + (x^{2} + y^{2} + z^{2})}{x})}{x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

4 \cdot \frac{2 \cdot x \cdot \ln (x) \cdot x + x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x}

\frac{4 \cdot (2 \cdot x \cdot \ln (x) \cdot x + x^{2} + y^{2} + z^{2})}{x}

■Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

x \cdot x

x^{2}

- \frac{\frac{4 \cdot (2 x^{2} \cdot \ln (x) + x^{2} + y^{2} + z^{2})}{x}}{x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

ⓘ Dividir una fracción por

x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

equivale a multiplicar su denominador por

x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

- \frac{\frac{4 \cdot (2 x^{2} \cdot \ln (x) + x^{2} + y^{2} + z^{2})}{x}}{x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

- \frac{4 \cdot (2 x^{2} \cdot \ln (x) + x^{2} + y^{2} + z^{2})}{x x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

■Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

x x^{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

x^{x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1}

▶Derivada:

- \frac{4 \cdot (2 x^{2} \cdot \ln (x) + x^{2} + y^{2} + z^{2})}{x^{x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1}}