(2x+3)/(x-2)<= 5x-2 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

\frac{2 x + 3}{x - 2} \leq 5 x - 2

2) Sumemos las fracciones:

\frac{2 x + 3}{x - 2} - 5 x + 2 \leq 0

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{2 x + 3}{x - 2} - 5 x

\frac{(2 x + 3) - 5 x \cdot (x - 2)}{x - 2}

\frac{(2 x + 3) - 5 x \cdot (x - 2)}{x - 2} + 2 \leq 0

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{2 x + 3 - 5 x \cdot (x - 2)}{x - 2} + 2

\frac{(2 x + 3 - 5 x \cdot (x - 2)) + 2 \cdot (x - 2)}{x - 2}

\frac{(2 x + 3 - 5 x \cdot (x - 2)) + 2 \cdot (x - 2)}{x - 2} \leq 0

\frac{2 x + 3 - 5 x \cdot (x - 2) + 2 \cdot (x - 2)}{x - 2} \leq 0

Estudiamos el signo del numerador

Estudiemos el signo de

2 x

+ 3

- 5 x \cdot (x - 2)

+ 2 \cdot (x - 2)

resolviendo en

ℝ

2 x

+ 3

- 5 x \cdot (x - 2)

+ 2 \cdot (x - 2) \leq 0

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- 5 x \cdot (x - 2)

- (5 x^{2} - 10 x)

2 \cdot (x - 2)

2 x - 4

2 x

+ 3

- (5 x^{2} - 10 x)

+ 2 x

- 4 \leq 0

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (5 x^{2} - 10 x)

- 5 x^{2} + 10 x

■Partimos de

3

y retrocedemos

4

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

3 - 4

-1

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

2 x + 2 x

4 x

4 x

- 1

- 5 x^{2}

+ 10 x \leq 0

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

4 x + 10 x

14 x

14 x - 1 - 5 x^{2} \leq 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = -5

b = 14

c = -1

Δ = 14^{2} - 4 \cdot (-5) \cdot (-1)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

14^{2}

14 \cdot 14

196

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

-4 \cdot (-5)

20

■Multiplicar por -1 da el opuesto:

20 \cdot (-1)

-20

Δ = 196 - 20

ⓘ Partimos de

196

y retrocedemos

20

en la recta numérica:

196 - 20

176

Δ = 176

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 14 - \sqrt{176}}{2 \cdot (-5)}

x_{1} = \frac{- 14 - \sqrt{176}}{2 \cdot (-5)}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

176

16

4^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{176}

\sqrt{16 \cdot 11}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{11}

4 \cdot \sqrt{11}

■Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 14 - 4 \cdot \sqrt{11}

- (14 + 4 \cdot \sqrt{11})

■Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

2 \cdot (-5)

-10

x_{1} = \frac{- (14 + 4 \cdot \sqrt{11})}{-10}

ⓘ Los signos menos del numerador y del denominador se cancelan:

\frac{- (14 + 4 \cdot \sqrt{11})}{-10}

\frac{14 + 4 \cdot \sqrt{11}}{10}

x_{1} = \frac{14 + 4 \cdot \sqrt{11}}{10}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{14 + 4 \cdot \sqrt{11}}{10}

\frac{7 + 2 \cdot \sqrt{11}}{5}

x_{1} = \frac{7 + 2 \cdot \sqrt{11}}{5}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 14 + \sqrt{176}}{2 \cdot (-5)}

x_{2} = \frac{- 14 + \sqrt{176}}{2 \cdot (-5)}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

176

16

4^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{176}

\sqrt{16 \cdot 11}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{11}

4 \cdot \sqrt{11}

■Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

2 \cdot (-5)

-10

x_{2} = \frac{- 14 + 4 \cdot \sqrt{11}}{-10}

ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{- 14 + 4 \cdot \sqrt{11}}{-10}

- (\frac{- 14 + 4 \cdot \sqrt{11}}{10})

x_{2} = - (\frac{- 14 + 4 \cdot \sqrt{11}}{10})

ⓘ El signo menos de la fracción pasa al numerador o al denominador y cambia el signo de cada uno de sus términos:

- (\frac{- 14 + 4 \cdot \sqrt{11}}{10})

\frac{14 - 4 \cdot \sqrt{11}}{10}

x_{2} = \frac{14 - 4 \cdot \sqrt{11}}{10}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{14 - 4 \cdot \sqrt{11}}{10}

\frac{7 - 2 \cdot \sqrt{11}}{5}

x_{2} = \frac{7 - 2 \cdot \sqrt{11}}{5}

El trinomio tiene el signo de a (

-5

) fuera de sus raíces, por lo que es negativo fuera de ellas; las raíces, donde se anula, están incluidas.

Candidatos, sujetos al dominio:

x \in] -∞; \frac{7 - 2 \cdot \sqrt{11}}{5}] \cup [\frac{7 + 2 \cdot \sqrt{11}}{5}; +∞ [

⇥Por tanto, la expresión

2 x

+ 3

- 5 x \cdot (x - 2)

+ 2 \cdot (x - 2)

es negativa o nula en

] -∞; \frac{7 - 2 \cdot \sqrt{11}}{5}] \cup [\frac{7 + 2 \cdot \sqrt{11}}{5}; +∞ [

y positiva en los demás puntos

Estudiamos el signo del denominador, que no debe anularse

⇥La expresión

x - 2

se anula en

x = 2

(valor excluido) y es negativa antes y positiva después

3) Construyamos la tabla de signos:

x	$-∞$		$\frac{7 - 2 \cdot \sqrt{11}}{5}$		$2$		$\frac{7 + 2 \cdot \sqrt{11}}{5}$		$+∞$
$2 x$ $+ 3$ $- 5 x \cdot (x - 2)$ $+ 2 \cdot (x - 2)$		-	0	+		+	0	-
$x - 2$		-		-	0	+		+
$\frac{2 x + 3}{x - 2} - (5 x - 2)$		+	0	-	❌	+	0	-

Candidatos, sujetos al dominio:

x \in [\frac{7 - 2 \cdot \sqrt{11}}{5}; 2 [\cup [\frac{7 + 2 \cdot \sqrt{11}}{5}; +∞ [

4) Busquemos el dominio de

\frac{2 x + 3}{x - 2} \leq 5 x - 2

Para que la expresión

\frac{2 x + 3}{x - 2}

esté definida, debe cumplirse:

x - 2 \neq 0

ⓘ Sumamos

2

a ambos miembros

Restricciones del dominio:

x \neq 2

▶Solución:

x \in [\frac{7 - 2 \cdot \sqrt{11}}{5}; 2 [\cup [\frac{7 + 2 \cdot \sqrt{11}}{5}; +∞ [

5) El valor numérico de:

x \in [\frac{7 - 2 \cdot \sqrt{11}}{5}; 2 [\cup [\frac{7 + 2 \cdot \sqrt{11}}{5}; +∞ [

es:

x \in [\frac{7 - 2 \cdot \approx 3,3166}{5}; 2 [\cup [\frac{7 + 2 \cdot \approx 3,3166}{5}; +∞ [

x \in [\frac{7 - \approx 6,6332}{5}; 2 [\cup [\frac{7 + \approx 6,6332}{5}; +∞ [

x \in [\frac{\approx 0,3668}{5}; 2 [\cup [\frac{\approx 13,6332}{5}; +∞ [

▷

x \in [\approx 7,335 \times 10^{- 2}; 2 [\cup [\approx 2,7266; +∞ [