(3x^2-2x)/(3x+2)<=-2 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

\frac{3 x^{2} - 2 x}{3 x + 2} \leq -2

ⓘ Extraemos el factor común de los términos para poder simplificar la fracción:

\frac{3 x^{2} - 2 x}{3 x + 2}

\frac{x \cdot (3 x - 2)}{3 x + 2}

\frac{x \cdot (3 x - 2)}{3 x + 2} \leq -2

2) Sumemos las fracciones:

\frac{x \cdot (3 x - 2)}{3 x + 2} + 2 \leq 0

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{x \cdot (3 x - 2)}{3 x + 2} + 2

\frac{x \cdot (3 x - 2) + 2 \cdot (3 x + 2)}{3 x + 2}

\frac{x \cdot (3 x - 2) + 2 \cdot (3 x + 2)}{3 x + 2} \leq 0

Estudiamos el signo del numerador

Estudiemos el signo de

x \cdot (3 x - 2) + 2 \cdot (3 x + 2)

resolviendo en

ℝ

x \cdot (3 x - 2) + 2 \cdot (3 x + 2) \leq 0

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

x \cdot (3 x - 2)

3 x^{2} + x \cdot (-2)

2 \cdot (3 x + 2)

6 x + 4

3 x^{2}

+ x \cdot (-2)

+ 6 x

+ 4 \leq 0

ⓘ Colocamos el signo menos delante del producto:

x \cdot (-2)

- 2 x

3 x^{2}

- 2 x

+ 6 x

+ 4 \leq 0

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- 2 x + 6 x

4 x

3 x^{2} + 4 x + 4 \leq 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 3

b = 4

c = 4

Δ = 4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

4^{2}

4 \cdot 4

16

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \cdot 4

12

Δ = 16 - 12 \cdot 4

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

12 \cdot 4

(10 + 2) \cdot 4

10 \cdot 4 + 2 \cdot 4

40 + 8

48

Δ = 16 - 48

ⓘ Partimos de

16

y retrocedemos

48

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

16 - 48

-32

Δ = -32

El trinomio no tiene raíces reales: siempre tiene el signo de a (

3

), por lo que nunca es negativo.

Solución:

x \in \emptyset

⇥Por tanto, la expresión

x \cdot (3 x - 2) + 2 \cdot (3 x + 2)

siempre es positiva

Estudiamos el signo del denominador, que no debe anularse

⇥La expresión

3 x + 2

se anula en:

⇥

x = - \frac{2}{3}

⇥Como su coeficiente de

x

3

, es positivo, es negativa antes y positiva después de

- \frac{2}{3}

(valor excluido)

3) Construyamos la tabla de signos:

x	$-∞$		$- \frac{2}{3}$		$+∞$
$x \cdot (3 x - 2) + 2 \cdot (3 x + 2)$		+		+
$3 x + 2$		-	0	+
$\frac{x \cdot (3 x - 2)}{3 x + 2} + 2$		-	❌	+

Candidatos, sujetos al dominio:

x < - \frac{2}{3}

4) Determinemos el dominio de

\frac{3 x^{2} - 2 x}{3 x + 2} \leq -2

Para que la expresión

\frac{3 x^{2} - 2 x}{3 x + 2}

esté definida, debe cumplirse:

3 x + 2 \neq 0

ⓘ Restamos

2

a ambos miembros

3 x \neq -2

ⓘ Dividimos ambos miembros por

3

Restricciones del dominio:

x \neq - \frac{2}{3}

▶Solución:

x < - \frac{2}{3}

5) El valor numérico de:

x < - \frac{2}{3}

es:

▷

x < -0,6667 (valor aproximado)