(4x)/(x-1)<= x/(x+6)+4 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

\frac{4 x}{x - 1} \leq \frac{x}{x + 6} + 4

2) Sumemos las fracciones:

\frac{4 x}{x - 1} - \frac{x}{x + 6} - 4 \leq 0

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{4 x}{x - 1} - \frac{x}{x + 6}

\frac{4 x \cdot (x + 6) - x \cdot (x - 1)}{(x - 1) \cdot (x + 6)}

\frac{4 x \cdot (x + 6) - x \cdot (x - 1)}{(x - 1) \cdot (x + 6)} - 4 \leq 0

ⓘ Extraemos el factor común de los términos para poder simplificar la fracción:

\frac{4 x \cdot (x + 6) - x \cdot (x - 1)}{(x - 1) \cdot (x + 6)}

\frac{x \cdot (4 \cdot (x + 6) - (x - 1))}{(x - 1) \cdot (x + 6)}

■Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{x \cdot (4 \cdot (x + 6) - (x - 1))}{(x - 1) \cdot (x + 6)} - 4

\frac{x \cdot (4 \cdot (x + 6) - (x - 1)) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (x + 6)}{(x - 1) \cdot (x + 6)}

\frac{x \cdot (4 \cdot (x + 6) - (x - 1)) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (x + 6)}{(x - 1) \cdot (x + 6)} \leq 0

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (x - 1)

- x + 1

\frac{x \cdot (4 \cdot (x + 6) - x + 1) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (x + 6)}{(x - 1) \cdot (x + 6)} \leq 0

Estudiamos el signo del numerador

⇥2.1) Estudiemos el signo de

x \cdot (4 \cdot (x + 6) - x + 1) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (x + 6)

resolviendo en

ℝ

x \cdot (4 \cdot (x + 6) - x + 1) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (x + 6) \leq 0

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

4 \cdot (x + 6)

4 x + 24

x \cdot ((4 x + 24) - x + 1)

x \cdot (4 x + 24) + x \cdot (- x) + x

4 \cdot (x - 1)

4 x - 4

⇥

x \cdot (4 x + 24)

+ x \cdot (- x)

+ x

- (4 x - 4) \cdot (x + 6) \leq 0

⇥ⓘ Colocamos el signo menos delante del producto:

x \cdot (- x)

- x \cdot x

⇥

x \cdot (4 x + 24)

- x \cdot x

+ x

- (4 x - 4) \cdot (x + 6) \leq 0

⇥ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

x \cdot x

x^{2}

⇥

x \cdot (4 x + 24)

- x^{2}

+ x

- (4 x - 4) \cdot (x + 6) \leq 0

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

x \cdot (4 x + 24)

4 x^{2} + x \cdot 24

- (4 x - 4) \cdot (x + 6)

- (4 \cdot x \cdot x

+ 4 x \cdot 6

- 4 x

- 4 \cdot 6)

⇥

4 x^{2}

+ x \cdot 24

- x^{2}

+ x

- (4 \cdot x \cdot x

+ 4 x \cdot 6

- 4 x

- 4 \cdot 6) \leq 0

⇥ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

4 x^{2} + x \cdot 24 - x^{2}

3 x^{2} + 24 x

24 x + x

25 x

■Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (4 \cdot x \cdot x

+ 4 x \cdot 6

- 4 x

- 4 \cdot 6)

- 4 \cdot x \cdot x

- 4 x \cdot 6

+ 4 x

+ 4 \cdot 6

⇥

3 x^{2}

+ 25 x

- 4 \cdot x \cdot x

- 4 x \cdot 6

+ 4 x

+ 4 \cdot 6 \leq 0

⇥ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

x \cdot x

x^{2}

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 6

24

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

25 x + 4 x

29 x

⇥

3 x^{2}

+ 29 x

- 4 x^{2}

- 24 x

+ 24 \leq 0

⇥ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

3 x^{2} - 4 x^{2}

- x^{2}

29 x - 24 x

5 x

⇥

- x^{2} + 5 x + 24 \leq 0

⇥Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = -1

b = 5

c = 24

⇥

Δ = 5^{2} - 4 \cdot (-1) \cdot 24

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

5^{2}

5 \cdot 5

25

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

-4 \cdot (-1)

4

⇥

Δ = 25 + 4 \cdot 24

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 24

4 \cdot (20 + 4)

4 \cdot 20 + 4 \cdot 4

80 + 16

96

⇥

Δ = 25 + 96

⇥ⓘ Partimos de

25

y avanzamos

96

en la recta numérica:

25 + 96

121

⇥

Δ = 121

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 5 - \sqrt{121}}{2 \cdot (-1)}

⇥

x_{1} = \frac{- 5 - \sqrt{121}}{2 \cdot (-1)}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{121}

11

ya que

11^{2}

121

■Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

2 \cdot (-1)

-2

⇥

x_{1} = \frac{- 5 - 11}{-2}

⇥ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{- 5 - 11}{-2}

- (\frac{- 5 - 11}{2})

⇥

x_{1} = - (\frac{- 5 - 11}{2})

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 5 - 11

-16

⇥

x_{1} = - (\frac{-16}{2})

⇥ⓘ Dos signos menos se cancelan:

- (\frac{-16}{2})

\frac{16}{2}

⇥

x_{1} = \frac{16}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{16}{2}

8

⇥

x_{1} = 8

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 5 + \sqrt{121}}{2 \cdot (-1)}

⇥

x_{2} = \frac{- 5 + \sqrt{121}}{2 \cdot (-1)}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{121}

11

ya que

11^{2}

121

■Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

2 \cdot (-1)

-2

⇥

x_{2} = \frac{- 5 + 11}{-2}

⇥ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{- 5 + 11}{-2}

- (\frac{- 5 + 11}{2})

⇥

x_{2} = - (\frac{- 5 + 11}{2})

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 5 + 11

6

⇥

x_{2} = - \frac{6}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{6}{2}

-3

⇥

x_{2} = -3

⇥El trinomio tiene el signo de a (

-1

) fuera de sus raíces, por lo que es negativo fuera de ellas; las raíces, donde se anula, están incluidas.

⇥Candidatos, sujetos al dominio:

x \in] -∞; -3] \cup [8; +∞ [

⇥Por tanto, la expresión

x \cdot (4 \cdot (x + 6) - x + 1) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (x + 6)

es negativa o nula en

] -∞; -3] \cup [8; +∞ [

y positiva en los demás puntos

Estudiamos el signo del denominador, que no debe anularse

⇥2.2) Resolvamos en

ℝ

(x - 1) \cdot (x + 6) < 0

⇥Estudiamos el signo de cada factor del producto

⇥⇥La expresión

x - 1

se anula en

x = 1

(valor excluido) y es negativa antes y positiva después

⇥⇥La expresión

x + 6

se anula en

x = -6

(valor excluido) y es negativa antes y positiva después

3) Construyamos la tabla de signos:

x	$-∞$		$-6$		$-3$		$1$		$8$		$+∞$
$x \cdot (4 \cdot (x + 6) - x + 1) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (x + 6)$		-		-	0	+		+	0	-
$x - 1$		-		-		-	0	+		+
$x + 6$		-	0	+		+		+		+
$\frac{4 x}{x - 1} - (\frac{x}{x + 6} + 4)$		-	❌	+	0	-	❌	+	0	-

Candidatos, sujetos al dominio:

x \in] -∞; -6 [\cup [-3; 1 [\cup [8; +∞ [

4) Determinemos el dominio de

\frac{4 x}{x - 1} \leq \frac{x}{x + 6} + 4

Para que la expresión

\frac{4 x}{x - 1}

esté definida, debe cumplirse:

x - 1 \neq 0

Para que la expresión

\frac{x}{x + 6}

esté definida, debe cumplirse:

x + 6 \neq 0

5) Resolvamos en

ℝ

x - 1 \neq 0

ⓘ Sumamos

1

a ambos miembros

Solución encontrada:

x \neq 1

6) Resolvamos en

ℝ

x + 6 \neq 0

ⓘ Restamos

6

a ambos miembros

Solución obtenida:

x \neq -6

Construyamos la tabla de las distintas soluciones para encontrar la solución global:

x	$-∞$		$-6$		$1$		$+∞$
$x - 1 \neq 0$		✅	✅	✅	❌	✅
$x + 6 \neq 0$		✅	❌	✅	✅	✅
Dominio de definición:		✅	❌	✅	❌	✅

Restricciones del dominio:

x \in ℝ \ {-6; 1}

▶Solución:

x \in] -∞; -6 [\cup [-3; 1 [\cup [8; +∞ [