(5x+5)/6-1<(19x+1)/3-(8x+1)/4 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

\frac{5 x + 5}{6} - 1 < \frac{19 x + 1}{3} - \frac{8 x + 1}{4}

ⓘ Una fracción cuyo numerador es una suma se separa término a término:

\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}

, para

c \neq 0

- \frac{8 x + 1}{4}

- (2 x + \frac{1}{4})

ⅰ

\frac{5 x + 5}{6} - 1

\frac{(5 x + 5) + 6 \cdot (-1)}{6}

\frac{(5 x + 5) + 6 \cdot (-1)}{6} < \frac{19 x + 1}{3} - (2 x + \frac{1}{4})

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

6 \cdot (-1)

-6

■Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (2 x + \frac{1}{4})

- 2 x - \frac{1}{4}

\frac{5 x + 5 - 6}{6} < \frac{19 x + 1}{3} - 2 x - \frac{1}{4}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

5 - 6

-1

ⅰ

\frac{19 x + 1}{3} - 2 x

\frac{(19 x + 1) + 3 \cdot (- 2 x)}{3}

\frac{5 x - 1}{6} < \frac{(19 x + 1) + 3 \cdot (- 2 x)}{3} - \frac{1}{4}

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

3 \cdot (-2)

-6

\frac{5 x - 1}{6} < \frac{19 x + 1 - 6 x}{3} - \frac{1}{4}

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

19 x - 6 x

13 x

\frac{5 x - 1}{6} < \frac{13 x + 1}{3} - \frac{1}{4}

2) Sumemos las fracciones:

\frac{5 x - 1}{6} - \frac{13 x + 1}{3} + \frac{1}{4} < 0

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{5 x - 1}{6} - \frac{13 x + 1}{3}

\frac{(5 x - 1) - (13 x + 1) \cdot 2}{6}

\frac{(5 x - 1) - (13 x + 1) \cdot 2}{6} + \frac{1}{4} < 0

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{5 x - 1 - (13 x + 1) \cdot 2}{6} + \frac{1}{4}

\frac{(5 x - 1 - (13 x + 1) \cdot 2) \cdot 2 + 3}{6 \cdot 2}

\frac{(5 x - 1 - (13 x + 1) \cdot 2) \cdot 2 + 3}{6 \cdot 2} < 0

ⅰ

6 \cdot 2

12

\frac{(5 x - 1 - (13 x + 1) \cdot 2) \cdot 2 + 3}{12} < 0

Estudiemos el signo de

(5 x - 1 - (13 x + 1) \cdot 2) \cdot 2 + 3

resolviendo en

ℝ

(5 x - 1 - (13 x + 1) \cdot 2) \cdot 2 + 3 < 0

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- (13 x + 1) \cdot 2

- (26 x + 2)

(5 x - 1 - (26 x + 2)) \cdot 2

10 x - 2 - (26 x + 2) \cdot 2

10 x

- 2

- (26 x + 2) \cdot 2

+ 3 < 0

ⓘ Partimos de

-2

y avanzamos

3

en la recta numérica, pasando por encima del cero:

- 2 + 3

1

10 x + 1 - (26 x + 2) \cdot 2 < 0

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- (26 x + 2) \cdot 2

- (52 x + 4)

10 x + 1 - (52 x + 4) < 0

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (52 x + 4)

- 52 x - 4

10 x

+ 1

- 52 x

- 4 < 0

ⓘ Partimos de

1

y retrocedemos

4

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

1 - 4

-3

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

10 x - 52 x

-42 x

- 42 x - 3 < 0

ⓘ Sumamos

3

a ambos miembros

- 42 x < 3

Dividimos ambos miembros por

-42

, que es negativo, por lo que invertimos el sentido de la desigualdad

x > \frac{3}{-42}

ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{3}{-42}

- \frac{3}{42}

x > - \frac{3}{42}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

3

, su máximo común divisor:

- \frac{3}{42}

- \frac{1 \cdot 3}{14 \cdot 3}

- \frac{1}{14}

Solución obtenida:

x > - \frac{1}{14}

⇥Por tanto, la expresión

(5 x - 1 - (13 x + 1) \cdot 2) \cdot 2 + 3

es negativa en

] - \frac{1}{14}; +∞ [

y positiva o nula en los demás puntos

▶Solución obtenida:

x > - \frac{1}{14}

3) El valor numérico de:

x > - \frac{1}{14}

vale:

▷

x > -7,1429 \times 10^{- 2} (valor aproximado)