(dy)/(dx)+2xy=4x — solución paso a paso

⚠ xy se interpreta como el producto x*y: para la variable xy, escribe xy_■(dy)/(dx)+2xy=4x se interpreta como y'+2xy=4x: utiliza dif(expression, variable) para una derivada respecto a esa variable, utiliza (numerador)/(denominador) para un cociente

Resolvamos la ecuación lineal

y' + 2 x y = 4 x

, donde

y

es una función de

x

. Los coeficientes polinómicos son continuos en ℝ

La forma

y' + p y = q

p = 2 x

q = 4 x

⇥1) Calculemos la integral:

\int 2 x d x

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la integral. Una primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante y

n \neq -1

\int 2 x d x

2 \cdot \frac{x^{2}}{2}

⇥

2 \cdot \frac{x^{2}}{2}

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

2 \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{2 x^{2}}{2}

■Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{2 x^{2}}{2}

x^{2}

⇥

x^{2}

El factor integrante exp(∫p) vale

\exp (x^{2})

y es estrictamente positivo en ℝ

Al multiplicar por este factor, la regla del producto da

{(\exp (x^{2}) y)}^{'}

4 x \exp (x^{2})

⇥2) Calculemos la integral:

\int 4 x \exp (x^{2}) d x

⇥Hacemos

u = x^{2}

. Entonces

du = 2 x \cdot dx

, por lo que

4 x \cdot dx = 2 du

⇥

\int 4 x \exp (x^{2}) d x = 2 \cdot \int \exp (u) d u

⇥Una primitiva de

\exp (u)

\exp (u)

⇥Sustituimos

u

por

x^{2}

en la primitiva

⇥ⅰ

\int 4 x \exp (x^{2}) d x

2 \exp (x^{2})

⇥

2 \exp (x^{2})

Al integrar,

\exp (x^{2}) y = 2 \exp (x^{2}) + C

. Dividimos por el factor, que nunca se anula;

C

es una constante real arbitraria, incluido el cero

▶Solución:

y = 2 + \frac{C}{\exp (x^{2})}