(dy)/(dx)+3y=40 — solución paso a paso

⚠ (dy)/(dx)+3y=40 se interpreta como y'+3y=40: utiliza dif(expression, variable) para una derivada respecto a esa variable, utiliza (numerador)/(denominador) para un cociente

Resolvamos la ecuación lineal

y' + 3 y = 40

, donde

y

es una función de

x

. Los coeficientes polinómicos son continuos en ℝ

La forma

y' + p y = q

p = 3

q = 40

⇥1) Integremos:

\int 3 d x

⇥ⓘ La derivada de

3 x

3

, por lo que

3 x

es una primitiva de

3

\int 3 d x

3 x

⇥

3 x

El factor integrante exp(∫p) vale

\exp (3 x)

y es estrictamente positivo en ℝ

Al multiplicar por este factor, la regla del producto da

{(\exp (3 x) y)}^{'}

40 \exp (3 x)

⇥2) Calculemos la integral:

\int 40 \exp (3 x) d x

⇥Para la expresión matemática

40 \exp (3 x)

, sabiendo que (exp(a))' = a'*exp(a), intentamos derivar

\exp (3 x)

⇥3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\exp (3 x))

⇥Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\exp (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \exp (f)

con f =

3 x

⇥ⓘ La derivada de

\exp (x)

\exp (x)

\frac{d}{d x} (\exp (3 x))

\frac{d}{d x} (3 x) \cdot \exp (3 x)

⇥

\frac{d}{d x} (3 x) \cdot \exp (3 x)

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x)

3

⇥

3 \exp (3 x)

⇥La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

⇥ⓘ La derivada de

\frac{40}{3} \cdot \exp (3 x)

40 \exp (3 x)

, por lo que

\frac{40}{3} \cdot \exp (3 x)

es una primitiva de

40 \exp (3 x)

\int 40 \exp (3 x) d x

\frac{40}{3} \cdot \exp (3 x)

⇥

\frac{40}{3} \cdot \exp (3 x)

⇥ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{40}{3} \cdot \exp (3 x)

\frac{40 \exp (3 x)}{3}

⇥

\frac{40 \exp (3 x)}{3}

Al integrar,

\exp (3 x) y = \frac{40 \exp (3 x)}{3} + C

. Dividimos por el factor, que nunca se anula;

C

es una constante real arbitraria, incluido el cero

▶Solución:

y = \frac{40}{3} + \frac{C}{\exp (3 x)}