(ln(1+x))^2+2ln(1+x)>0 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

{\ln (1 + x)}^{2} + 2 \cdot \ln (1 + x) > 0

Podemos factorizar la expresión

{\ln (x + 1)}^{2} + 2 \cdot \ln (x + 1)

como

\ln (x + 1) \cdot (\ln (x + 1) + 2)

Estudiamos el signo de cada factor del producto

⇥1.1) Estudiemos el signo de

\ln (x + 1)

ampliando la comparación a ≥ y resolviendo en

ℝ

\ln (x + 1) \geq 0

⇥Podemos aplicar la función exp a ambos miembros:

⇥

e^{\ln (x + 1)} \geq e^{0}

⇥ⓘ Para

x

real,

\ln (\exp (x)) = x

; cuando

\ln (x)

está definido,

\exp (\ln (x)) = x

e^{\ln (x + 1)}

x + 1

■Todo número no nulo elevado a 0 vale 1:

e^{0}

1

⇥

x + 1 \geq 1

⇥ⓘ Restamos

1

a ambos miembros

⇥

x \geq 1 - 1

⇥ⓘ Partimos de

1

y retrocedemos

1

en la recta numérica, hasta el cero:

1 - 1

0

⇥Candidatos, sujetos al dominio:

x \geq 0

⇥Por tanto, la expresión

\ln (x + 1)

es positiva o nula en

[0; +∞ [

y negativa en los demás puntos

⇥1.2) Estudiemos el signo de

\ln (x + 1) + 2

ampliando la comparación a ≥ y resolviendo en

ℝ

\ln (x + 1) + 2 \geq 0

⇥Podemos aplicar la función exp a ambos miembros:

⇥

e^{\ln (x + 1)} \geq e^{-2}

⇥ⓘ Para

x

real,

\ln (\exp (x)) = x

; cuando

\ln (x)

está definido,

\exp (\ln (x)) = x

e^{\ln (x + 1)}

x + 1

■Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

e^{-2}

\frac{1}{e^{2}}

⇥

x + 1 \geq \frac{1}{e^{2}}

⇥Candidatos, sujetos al dominio:

x \geq \frac{1}{e^{2}} - 1

⇥Por tanto, la expresión

\ln (x + 1) + 2

es positiva o nula en

[\frac{1}{e^{2}} - 1; +∞ [

y negativa en los demás puntos

2) Construyamos la tabla de signos:

x	$-∞$		$\frac{1}{e^{2}} - 1$		$0$		$+∞$
$\ln (x + 1)$		-		-	0	+
$\ln (x + 1) + 2$		-	0	+		+
${\ln (1 + x)}^{2} + 2 \cdot \ln (1 + x)$		+	0	-	0	+

Candidatos, sujetos al dominio:

x \in] -∞; \frac{1}{e^{2}} - 1 [\cup] 0; +∞ [

3) Determinemos el dominio de

{\ln (1 + x)}^{2} + 2 \cdot \ln (1 + x) > 0

Para que la expresión

\ln (1 + x)

esté definida, debe cumplirse:

1 + x > 0

ⓘ Restamos

1

a ambos miembros

Restricciones del dominio:

x > -1

▶Solución:

x \in] -1; \frac{1}{e^{2}} - 1 [\cup] 0; +∞ [

4) El valor numérico de:

x \in] -1; \frac{1}{e^{2}} - 1 [\cup] 0; +∞ [

vale:

x \in] -1; \frac{1}{{\approx 2,7183}^{2}} - 1 [\cup] 0; +∞ [

x \in] -1; \frac{1}{\approx 7,3891} - 1 [\cup] 0; +∞ [

x \in] -1; \frac{1 - 1 \cdot \approx 7,3891}{\approx 7,3891} [\cup] 0; +∞ [

x \in] -1; \frac{1 - \approx 7,3891}{\approx 7,3891} [\cup] 0; +∞ [

x \in] -1; - \frac{\approx 6,3891}{\approx 7,3891} [\cup] 0; +∞ [

▷

x \in] -1; \approx -0,8647 [\cup] 0; +∞ [