(-3*a-3*b-3*c)^2 — solución paso a paso

Calculemos:

{(- 3 a - 3 b - 3 c)}^{2}

ⓘ Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 3 a - 3 b - 3 c

- (3 a + 3 b + 3 c)

■Con un exponente entero par, el signo menos de la base desaparece; con un exponente entero impar, pasa delante de la potencia:

{(- (3 a + 3 b + 3 c))}^{2}

{(3 a + 3 b + 3 c)}^{2}

{(3 a + 3 b + 3 c)}^{2}

ⓘ Extraemos el factor numérico común

3

antes de desarrollar la potencia:

{(3 a + 3 b + 3 c)}^{2}

3^{2} \cdot {(a + b + c)}^{2}

3^{2} \cdot {(a + b + c)}^{2}

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

3^{2}

3 \cdot 3

9

9 \cdot {(a + b + c)}^{2}

Utilizando la fórmula multinomial:

{(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{k})}^{n} = \sum_{m_{1} + m_{2} + \dots + m_{k} = n}^{m_{i} \geq 0} (\frac{n!}{m_{1}! m_{2}! \dots m_{k}!}) {x_{1}}^{m_{1}} {x_{2}}^{m_{2}} \dots {x_{k}}^{m_{k}}

, desarrollamos la expresión matemática:

ⅰ

{(a + b + c)}^{2}

\frac{2!}{2! \cdot 0! \cdot 0!} \cdot a^{2} b^{0} c^{0}

+ \frac{2!}{1! \cdot 1! \cdot 0!} \cdot a^{1} b^{1} c^{0}

+ \frac{2!}{0! \cdot 2! \cdot 0!} \cdot a^{0} b^{2} c^{0}

+ \frac{2!}{1! \cdot 0! \cdot 1!} \cdot a^{1} b^{0} c^{1}

+ \frac{2!}{0! \cdot 1! \cdot 1!} \cdot a^{0} b^{1} c^{1}

+ \frac{2!}{0! \cdot 0! \cdot 2!} \cdot a^{0} b^{0} c^{2}

9 \cdot (\frac{2!}{2! \cdot 0! \cdot 0!} \cdot a^{2} b^{0} c^{0}

+ \frac{2!}{1! \cdot 1! \cdot 0!} \cdot a^{1} b^{1} c^{0}

+ \frac{2!}{0! \cdot 2! \cdot 0!} \cdot a^{0} b^{2} c^{0}

+ \frac{2!}{1! \cdot 0! \cdot 1!} \cdot a^{1} b^{0} c^{1}

+ \frac{2!}{0! \cdot 1! \cdot 1!} \cdot a^{0} b^{1} c^{1}

+ \frac{2!}{0! \cdot 0! \cdot 2!} \cdot a^{0} b^{0} c^{2})

ⓘ Todo número no nulo elevado a 0 vale 1. En este cálculo, adoptamos la convención

0^{0} = 1

b^{0}

1

c^{0}

1

a^{0}

1

9 \cdot (\frac{2!}{2! \cdot 0! \cdot 0!} \cdot a^{2}

+ \frac{2!}{1! \cdot 1! \cdot 0!} \cdot a b

+ \frac{2!}{0! \cdot 2! \cdot 0!} \cdot b^{2}

+ \frac{2!}{1! \cdot 0! \cdot 1!} \cdot a c

+ \frac{2!}{0! \cdot 1! \cdot 1!} \cdot b c

+ \frac{2!}{0! \cdot 0! \cdot 2!} \cdot c^{2})

ⓘ El factorial de un entero estrictamente positivo es el producto de todos los enteros desde 1 hasta ese entero:

2!

2

1!

1

■Por convenio, el factorial de 0 vale 1:

0!

1

■Multiplicar por 1 no cambia nada:

2 \cdot 1 \cdot 1

2

1 \cdot 1 \cdot 1

1

1 \cdot 2 \cdot 1

2

1 \cdot 1 \cdot 2

2

9 \cdot (\frac{2}{2} \cdot a^{2}

+ \frac{2}{1} \cdot a b

+ \frac{2}{2} \cdot b^{2}

+ \frac{2}{1} \cdot a c

+ \frac{2}{1} \cdot b c

+ \frac{2}{2} \cdot c^{2})

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{2}{2}

1

■Multiplicar por 1 no cambia nada:

1 \cdot a^{2}

a^{2}

1 \cdot b^{2}

b^{2}

1 \cdot c^{2}

c^{2}

9 \cdot (a^{2}

+ 2 a b

+ b^{2}

+ 2 a c

+ 2 b c

+ c^{2})

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

9 \cdot (a^{2}

+ 2 a b

+ b^{2}

+ 2 a c

+ 2 b c

+ c^{2})

9 a^{2}

+ 18 a b

+ 9 b^{2}

+ 18 a c

+ 18 b c

+ 9 c^{2}

9 a^{2}

+ 18 a b

+ 9 b^{2}

+ 18 a c

+ 18 b c

+ 9 c^{2}

▶Resultado:

9 a^{2}

+ 18 a b

+ 18 a c

+ 9 b^{2}

+ 18 b c

+ 9 c^{2}