(x+1)^2=2(x-1)^2 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

{(x + 1)}^{2} = 2 \cdot {(x - 1)}^{2}

{(x + 1)}^{2} - 2 \cdot {(x - 1)}^{2} = 0

ⓘ Elevar una suma a una potencia entera estrictamente positiva consiste en multiplicarla por sí misma tantas veces como indica el exponente:

{(x + 1)}^{2}

(x + 1) \cdot (x + 1)

{(x - 1)}^{2}

(x - 1) \cdot (x - 1)

(x + 1) \cdot (x + 1) - 2 \cdot (x - 1) \cdot (x - 1) = 0

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

(x + 1) \cdot (x + 1)

x \cdot x

+ x \cdot 1

+ 1 \cdot x

+ 1 \cdot 1

2 \cdot (x - 1)

2 x - 2

x \cdot x

+ x \cdot 1

+ 1 \cdot x

+ 1 \cdot 1

- (2 x - 2) \cdot (x - 1) = 0

ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

x \cdot x

x^{2}

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

1 \cdot 1

1

x^{2}

+ x

+ x

+ 1

- (2 x - 2) \cdot (x - 1) = 0

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

x + x

2 x

x^{2}

+ 2 x

+ 1

- (2 x - 2) \cdot (x - 1) = 0

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- (2 x - 2) \cdot (x - 1)

- (2 \cdot x \cdot x

+ 2 x \cdot (-1)

- 2 x

- 2 \cdot (-1))

x^{2}

+ 2 x

+ 1

- (2 \cdot x \cdot x

+ 2 x \cdot (-1)

- 2 x

- 2 \cdot (-1)) = 0

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (2 \cdot x \cdot x

+ 2 x \cdot (-1)

- 2 x

- 2 \cdot (-1))

- 2 \cdot x \cdot x

- 2 x \cdot (-1)

+ 2 x

+ 2 \cdot (-1)

x^{2}

+ 2 x

+ 1

- 2 \cdot x \cdot x

- 2 x \cdot (-1)

+ 2 x

+ 2 \cdot (-1) = 0

ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

x \cdot x

x^{2}

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

-2 \cdot (-1)

2

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

2 x + 2 x

4 x

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

2 \cdot (-1)

-2

x^{2}

+ 4 x

+ 1

- 2 x^{2}

+ 2 x

- 2 = 0

ⓘ Partimos de

1

y retrocedemos

2

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

1 - 2

-1

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

x^{2} - 2 x^{2}

- x^{2}

4 x + 2 x

6 x

- x^{2} + 6 x - 1 = 0

Como

-1 \neq 0

, dividimos ambos miembros por

-1

x^{2} - 6 x + 1 = 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -6

c = 1

Δ = {(-6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-6)}^{2}

(-6) \cdot (-6)

36

Δ = 36 - 4

ⓘ Partimos de

36

y retrocedemos

4

en la recta numérica:

36 - 4

32

Δ = 32

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-6) - \sqrt{32}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{6 - \sqrt{32}}{2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

32

16

4^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{32}

\sqrt{16 \cdot 2}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{2}

4 \cdot \sqrt{2}

x_{1} = \frac{6 - 4 \cdot \sqrt{2}}{2}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{6 - 4 \cdot \sqrt{2}}{2}

\frac{2 \cdot (3 - 2 \cdot \sqrt{2})}{2}

3 - 2 \cdot \sqrt{2}

x_{1} = 3 - 2 \cdot \sqrt{2}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-6) + \sqrt{32}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{6 + \sqrt{32}}{2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

32

16

4^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{32}

\sqrt{16 \cdot 2}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{2}

4 \cdot \sqrt{2}

x_{2} = \frac{6 + 4 \cdot \sqrt{2}}{2}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{6 + 4 \cdot \sqrt{2}}{2}

\frac{2 \cdot (3 + 2 \cdot \sqrt{2})}{2}

3 + 2 \cdot \sqrt{2}

x_{2} = 3 + 2 \cdot \sqrt{2}

▶Soluciones obtenidas:

x = {3 - 2 \cdot \sqrt{2}; 3 + 2 \cdot \sqrt{2}}

2) El valor numérico de:

x = {3 - 2 \cdot \sqrt{2}; 3 + 2 \cdot \sqrt{2}}

es:

x = {\approx 3 - 2 \cdot 1,4142; \approx 3 + 2 \cdot 1,4142}

x = {\approx 3 - 2,8284; \approx 3 + 2,8284}

▷

x = {\approx 0,1716; \approx 5,8284}